பழசு: எண்கள் – அறிமுகம்

[இதற்குமுன் வேறு ஓரிடத்தில் கணித வலைப்பதிவு ஒன்றை ஆரம்பித்தேன். கணிதக் குறியீடுகளை எழுத மிகவும் கடினமாக இருந்தது. அதனால் அந்த வலைப்பதிவை அழித்துவிட்டேன். அப்போது எழுதிய சில பதிவுகளை இங்கு மீள்பதிவு செய்யப்போகிறேன். அவை அனைத்தும் “பழசு” என்ற அடைமொழியுடன் இருக்கும். அவை அனைத்துமே எலிமெண்டரி வகையைச் சேர்ந்தவை.]

எண்களை நாம் தினமும் பயன்படுத்துகிறோம். காசு கொடுத்துக் காய்கறி வாங்க. மீதி கொடுக்க. மணி பார்க்க. இவ்வளவு பழக்கமானதால், எண்கள் சுலபமானவைதானே என்று தோன்றிவிடுகிறது. ஆனால் எண்கள் கவனமாகப் புரிந்துகொள்ளப்படவேண்டியவை.

எண்ணும் எண்கள், 1, 2, 3 ஆகியவை என்பது நமக்குத் தெரியும். நம் கண்ணுக்குத் தெரியும், முழுமையான பொருள்களின் எண்ணிக்கை அவை. கையில் இருக்கும் விரல்கள், செடியில் இருக்கும் பூக்கள், வயலில் மேயும் ஆடுகள். கணிதத்தில் இவற்றை முழு எண்கள் (Integers) என்கிறோம். பல ஆரம்பகாலச் சமூகங்களுக்கு இந்த முழு எண்கள் மட்டுமே தெரிந்திருந்தன.

அதன்பின் பின்னங்கள் இயல்பாகவே கண்டறியப்பட்டன. கையில் இருப்பது ஒரு மாம்பழம். அதைச் சகோதரனுடன் பகிர்ந்துகொள்ளவேண்டும். என்ன செய்வது? அந்த மாம்பழத்தை இரண்டாக வெட்டவேண்டும். ஒன்றை இரண்டாக்க வேண்டும். அப்படி வெட்டிய ஒரு பகுதி, இரண்டில் ஒரு பாகம். சுமார் 2500 ஆண்டுகளுக்கு முன் வாழ்ந்த கிரேக்கர்கள், எண்களை இரண்டு வகையாகப் பிரித்தனர். முழு எண்கள், பின்னங்கள். பின்னங்களைக் கீழ்க்கண்ட வகையில் எழுதுகிறோம்.

இவற்றுக்கு விகிதமுறு பின்னங்கள் (Rational Numbers, fractions) என்று பெயர்.

பித்தாகோரஸ் – இவரது பெயரால் ஒரு கணிதத் தேற்றம் வழங்கப்படுகிறது – சுமார் 2,500 ஆண்டுகளுக்கு முன் வாழ்ந்தவர். இவர் வர்க்க எண்கள் எனப்படும் எண்களைப் பற்றி ஆராய்ந்தார். ஓர் எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்கினால் கிடைப்பது வர்க்கம். 2-ஐ 2-ஆல் பெருக்கினால் கிடைப்பது 4. 2-ன் வர்க்கம் 4. அதேபோல, 9 = 3×3, 16=4×4… இவற்றைக் கீழ்க்கண்ட கணிதக் குறியீட்டு முறையில் குறிக்கிறோம்.

இந்த வர்க்க எண்களான 4, 9, 16 ஆகியவற்றைப் பார்த்த பித்தாகோரஸ் இவற்றில் இரண்டு வர்க்க எண்களைக் கூட்டினால், மற்றொரு வர்க்க எண் வருவதைக் கண்டார். அப்படிப்பட்ட எண்களை அவர் முக்கோணம் ஒன்றுடன் இணைத்துப் பார்த்தார். இந்த மூன்று எண்களும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமாக இருப்பதைக் கண்டார். இதைத்தான் பித்தாகோரஸ் தேற்றம் என்கிறோம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் a, b மற்றும் c என்றால்,

பித்தாகோரஸும் அவரது சீடர்களும் மேற்கண்ட சமன்பாட்டின் விடைகளாகப் பல முழு எண்களைக் கண்டுபிடித்தனர்.

ஒருநாள் பித்தாகோரஸின் சீடன் ஒருவன் அதிர்ச்சியான ஒரு விஷயத்தைக் கண்டுபிடித்தான். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களின் நீளம் 1, 1 என்று இருந்தால், மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளம் ஒரு விகிதமுறு பின்னமாக இருக்காது என்பதே அது.

அதாவது, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்துக்கு a = b = 1 என்று வைத்துக்கொள்ளுங்கள். அப்படியென்றால்,

அல்லது,

இங்கே என்பதை இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக – அதாவது விகிதமுறு பின்னமாக – எழுதமுடியுமா?

முடியாது என்று சொன்னதால் அந்தச் சீடன் அடித்தே கொல்லப்பட்டான் என்கிறார்கள். காரணம், பித்தாகோரஸ் அப்படிப்பட்ட “கெட்ட” எண்கள் இருக்கமுடியாது என்ற தீவிரமான நம்பிக்கையை வைத்திருந்தார். ஆனால் அந்த நம்பிக்கை பொய்யானது. ஏன் இந்த எண்ணை விகிதமாக, இரண்டு முழு எண்களின் பின்னமாகக் கொடுக்கமுடியாது என்பதை அடுத்து பார்ப்போம்.