பழசு: இருபடிச் சமன்பாடுகள்

August 23, 2011

பழசு: இருபடிச் சமன்பாடுகள்

Filed under: Uncategorized — bseshadri @ 9:00 am

பலபடிச் சமன்பாடுகளைப் பற்றிப் பேசத் தொடங்கினோம். $x$ என்பது ஒரு மாறி (variable) என்றால், அதன் வர்க்கம், கனம், நான்காம் படி ஆகியவற்றை $x^2, x^3, x^4$ என்று எழுதலாம். இந்தப் படிகளை வெவ்வேறு எண்களால் பெருக்கி, இவற்றையெல்லாம் கூட்டினால் நமக்குக் கிடைப்பது அந்த மாறி $x$ -ன் சார்பு (function). இந்தச் சார்புக்கு $n$ வரிசை கொண்ட பலபடிச் சார்பு (polynomial function) என்று பெயர். இப்படிக் கிடைக்கும் பலபடிச் சார்பை சுழியத்துக்கு (Zero) சமப்படுத்தினால் கிடைப்பது $n$ வரிசை உடைய பலபடிச் சமன்பாடு.

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n = 0$

இந்தச் சமன்பாட்டில் $n=1$ என்றால் நமக்குக் கிடைப்பது மிக எளிதான ‘ஒருபடிச் சமன்பாடு’.

$a_0 + a_1 x = 0$

இந்தச் சமன்பாட்டுக்கு மிக எளிதான விடை உள்ளது.

$x = - \frac{a_0}{a_1}, a_1 \neq 0$

ஒருபடிச் சமன்பாட்டுக்கு அடுத்தது, இருபடிச் சமன்பாடு (quadratic equation).

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 = 0$

பொதுவாக, கணிதப் புத்தகங்களில் இந்தச் சமன்பாட்டை இப்படி எழுதியிருப்பார்கள்:

$a x^2 + b x + c = 0$

இரண்டுமே ஒன்றுதான். இரண்டிலும் கெழுக்கள் (co-efficients) வெவ்வேறு குறியீடுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன. $n$ வரிசை உள்ள ஒரு பலபடிச் சமன்பாட்டுக்கு $n$ விடைகள் உள்ளன என்று நிரூபிக்கலாம். அதாவது, இருபடிச் சமன்பாட்டுக்கு இரண்டு விடைகள். அப்படியென்றால் என்ன அர்த்தம்? $x$ என்னும் மாறி எந்த மதிப்பையும் எடுத்துக்கொள்ளலாம் என்று பார்த்தோம். $x$ எந்த மதிப்பை எடுத்துக்கொண்டாலும் இடதுபக்கம் உள்ள பலபடிச் சார்பின் மதிப்பு சுழியம் (பூஜ்யம்) ஆகுமா? ஆகாது. $x$ , குறிப்பிட்ட இரண்டு மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்ளும்போதுதான் இருபடிச் சார்பு, சுழியமாகும். $x$ பிற மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்ளும்போது இருபடிச் சார்பின் மதிப்பு சுழியமாக இல்லாமல் வேறு மதிப்புகளைப் பெறும். மேலே குறிப்பிட்ட இருபடிச் சார்பு, $x$ என்ற மாறி, $p, q$ ஆகிய மதிப்புகளைப் பெறும்போது சுழியமாகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்படியென்றால்,

$(x-p)(x-q) = 0$

அல்லது, $x^2 - (p+q) x + pq = 0$

மேலே உள்ள சமன்பாட்டை முதலில் எழுதிய இருபடிச் சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், நாம் இவ்வாறு சொல்லமுடியும்:

$p+q = -\frac{b}{a}$

$pq = \frac{c}{a}$

இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளையும் கொண்டு, $p, q$ ஆகியவற்றை $a, b c$ ஆகியவற்றின்வாயிலாகக் கொடுக்கமுடியும்.

$(p+q)^2 = p^2 + q^2 + 2pq$

$(p-q)^2 = p^2 + q^2 - 2pq$

$(p-q)^2 = (p+q)^2 - 4pq = \frac{b^2}{a^2} - 4 \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 4 ac}{a^2}$

இரண்டு பக்கத்துக்கும் வர்க்கமூலம் எடுத்தால் கிடைப்பது:

$p-q = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}$

இப்போது, $p, q$ ஆகியவற்றை எளிதாகப் பெறலாம்:

$p = \frac{(p+q)+(p-q)}{2} = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$q = \frac{(p+q)-(p-q)}{2} = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

பள்ளிக்கூடத்தில் கணிதம் படிக்கும்போது இவற்றைப் பார்த்த ஞாபகம் வருகிறதா? இந்தத் தீர்வை பல இடங்களில் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவோம்.

ஒரு பலபடிச் சமன்பாட்டின் விடைகள், அந்தச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனப்படும்.

இப்போது விகிதமுறா எண்களுக்கு (irrational numbers) மீண்டும் வருவோம். எல்லா விகிதமுறா எண்களையும் பலபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களாகப் பார்க்கமுடியும். இந்தச் சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் (co-efficients) விகிதமுறும் எண்களாக இருந்தாலும்கூட, மூலங்கள் விகிதமுறா எண்களாக வரும். உதாரணத்துக்கு $\sqrt{2}$ என்பது $x^2 - 2=0$ என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமாகும். மற்றொரு மூலம் $- \sqrt{2}$ .

இப்போது மொத்தம் மூன்றுவிதமான எண்கள் இருப்பதாக நீங்கள் நினைக்கலாம். ஒன்று முழு எண்கள். இரண்டு விகிதமுறு எண்கள் (பின்னங்கள்). மூன்றாவதாக, பலபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களான விகிதமுறா எண்கள்.

ஆனால் உண்மை அதுவன்று! இந்த எண்களுக்குள் சிக்காத பல எண்கள் உள்ளன. அப்படிப்பட்ட எண்களில் இரண்டு மிகவும் சுவாரசியமான எண்களை நாளை பார்ப்போம்!

Like this:

Be the first to like this post.

Comments (3)

3 Comments »

எதற்காக இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் பற்றி தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்?

இந்த இயற்கையில் உள்ள சில நிகழ்வுகளைப் பற்றி அறிந்து கொள்ள மணிதனுக்கு ஆசை இருந்தது. அதைப்பற்றி ஆராயும் பொழுது, ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு உடையதாக இருந்தது. அப்படியென்றால், எவ்வாறான தொடர்பு? இதை வரையறுக்க, அதை குறியீடுகளாக இருந்தால் பரவாயில்லை என்று நினைத்தான். ஆகையால், மாறிகளையும் மாறிலிகளையும் (‌variables and constants) அறிமுகப்படுத்தினான். காலத்துக்கும், வேகத்துக்கும் என்ன தொடர்பு. வேகம் அதிகரித்தால், கடக்கக்கூடிய காலம் குறையும். ஆகையால், எதிர்மறைத் தொடர்பு. s = d/t (s – speed, d – distance, t – time). இந்த சமன்பாடு, மூன்று மாறிகளைக்கொண்டது.

சரி, இருபடிச் சமன்பாடுகள்? சிலசமயம், மாறிகள் வெறும் எளிய தொடர்பாக இருப்பதில்லை. அவற்றின் வர்க்கங்களாகவோ, கணங்களாகவோ இருக்கும். உதாரணமாக, ஒரு கல்லை மேல் நோக்கி விட்டெறிந்தால், அது என்ன வேகத்தில் மேலே போகும், என்ன வேகத்தில் கீழே வரும், என்ன பாதையில் போகும்? மேலே சென்று எந்த புள்ளியில் கீழ் நோக்கி திரும்பும்? அது கீழே வீசப்பட்ட இடத்திற்கு எப்போது வந்து சேரும்? எந்த பொருளை மேலே வீசினாலும், அது ஒரு பேரபோலா என்ற ஒரு வளைவாக போகும். அதாவது மேல் நோக்கி வளைந்த ஒரு வில் போல. பேரபோலாக்களை இருபடிச் சமன்பாடுகளாகத்தான் குறிக்க முடியும்.

உதாரணமாக,
h = ut – dt^2

h – உயரம்
u – மேல்நோக்கிய வேகம்
d – கீழ் வரும்போது முடுக்கம் (acceleration). என்ன வேகத்தில் வேகமடைகிறது. இங்கு புவியீர்ப்பு விசை. (gravity)
t – நேரம்.

மேல் நோக்கிய வேகமும், கீழ்நோக்கிய முடுக்கமும் மாறிலிகள் அல்லது முதலிலேயே தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது, u = 30.2 ms^-1, d = 9.8 ms^-2.

h = 30.2 t – 9.8 t^2

சரி, அப்படியென்றால், இங்கு நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது, மேலே வீசிய கல் எப்போது கீழே வரும். மேலே வீசப்படும் போதும், கீழே வந்து தரையை தொடும்போதும், உயரம் ௦ அல்லவா? (சரி, ஒரு ஆள், ஆளுயர குழிக்குள் இருந்து வீசுவதாக வைச்சுக்கோங்க ). அப்படியென்றால்

30.2 t – 9.2 t^2 = 0

இது ஒரு தெரிந்த இருபடிச்சமன்பாடு அல்லவா? இது போன்ற வடிவிலுள்ள சமன்பாடுகளை எப்படி தீர்ப்பது எண்பதைத்தான் கணிதம் வரையறுத்துள்ளது. அதன் ஃபார்முலாவை போட்டால், t கிடைத்து விடப்போகிறது. அதாவது t = (௦, 6.16). கல் கீழே தரையைத் தொட ஆறு நொடிகள் ஆகும். அவ்வளவுதான்.

கணிதம் இங்கிருந்து தனியாக பிரிந்து, சரி, t பதிலாக x -யை போடு. இந்த சமன்பாடுகளை எந்த எந்த வகையில் தீர்க்கலாம். எவ்வளவு வேகமாக தீர்க்கலாம். x பற்றி வேறு ஏதேனும் தெரிந்தால், விரைவாக முடிக்க முடியுமா? என்று generalize பண்ண ஆரம்பிக்கும். அதுதான் கணிதம். மேலே சொன்னது கணித்தத்தின் பயன்பாட்டின் ஒரு மாதிரி.

Comment by Sureshkumar — August 23, 2011 @ 10:53 am

Reply
விரிவாகவே எழுதியிருக்கிறீர்கள் எனினும் சில இடங்களில் Jump செய்துள்ளதாய் படுகிறது( படிச்சதெல்லாம் மறந்து போச்சு ).

உதாரணமாக,

/*
மேலே உள்ள சமன்பாட்டை முதலில் எழுதிய இருபடிச் சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், நாம் இவ்வாறு சொல்லமுடியும்:
*/
இங்கே -b புரிகிறது. -b/a எப்படி வந்தது எனப் புரியவில்லை.

Comment by சாணக்கியன் — August 25, 2011 @ 5:08 pm

Reply
$a x^2 + b x + c = 0$ என்பதை இரண்டு பக்கத்திலும் $a$ என்பதால் வகுக்கவேண்டும். இங்கு $a \neq 0$ . ஏனெனில், அப்போதுதான் இது இருபடிச் சமன்பாடு, இல்லாவிட்டால் ஒருபடிச் சமன்பாடு மட்டுமே. வகுத்தால்…

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

என்று வரும். இப்போது சமன்பாடுகளை ஒப்பிடுங்கள்.

Comment by bseshadri — August 25, 2011 @ 5:17 pm

Reply