பல பல π

August 25, 2011

பல பல π

Filed under: Uncategorized — bseshadri @ 9:20 am

பொதுவாக $\pi$ தொடர்பான சூத்திரங்களைப் பார்க்கும்போது, ஏன் இப்படிக் கஷ்டப்படுகிறார்கள் என்றுகூடப் பலருக்குத் தோன்றும். இப்படியெல்லாம் ஃபார்முலாக்களை உருவாக்கி இவர்கள் என்ன சாதிக்கப்போகிறார்கள்? கால்குலேட்டரைத் தட்டினால் ஏதோ 3.14159… என்று நீண்டு போய்க்கொண்டிருக்கும் ஒரு எண் கிடைக்கப்போகிறது. என்னதான் இருந்தாலும் எந்தக் கணக்கிலும் நாம் இரண்டு அல்லது மூன்று பதின்மங்களைத் தாண்டி எடுத்துக்கொள்ளப்போவதில்லை. 3.14 அல்லது 3.142 என்று வைத்துக்கொள்ளப்போகிறோம். இல்லையா, பேசாமல் $\frac{22}{7}$ என்பதையே வைத்துக்கொண்டால் போயிற்று…

நியாயம்தான். ஒரு பொறியாளருக்கு இதற்குமேல் வேறு ஏதும் வேண்டியதில்லை. அவர் செய்யும் குத்துமதிப்பான கணிப்புகளுக்கு இதுவே அதிகம்! ஆனால் கணிதம் என்பது வெறும் குத்துமதிப்பான கணிப்புகளைத் தாண்டிய ஒன்று. $\pi$ -ன் மதிப்பை பல நூறு, பல ஆயிரம், பல லட்சம், பல கோடி பதின்மங்களுக்குத் துல்லியமாகக் கணிக்க சிலர் முயற்சி செய்த்தன் விளைவாகப் பல ஆராய்ச்சித் துறைகள் முன்னேறியுள்ளன.

[பதின்மம் என்பது பற்றி. பதின்ம வயது என்றால் டீனேஜ் என்ற ஆங்கிலச் சொல்லுக்கு இணையான தமிழ்ச்சொல். அதை ஒத்ததுதான் இதுவும். டெசிமல் என்றால் பத்தடிமானத்தில் ஓர் எண்ணைச் சொல்வது. 295 என்று ஓர் எண்ணை நாம் எழுதும்போது அதன் பொருள் $2 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$ என்பதுதான். அதேபோல 3.14159 என்றால் $3 \cdot 10^0 + 1 \cdot 10^{-1} + 4 \cdot 10^{-2} + 1 \cdot 10^{-3} + 5 \cdot 10^{-4} + 9 \cdot 10^{-5}$ ஆகும். இங்கே புள்ளிக்குப் பிறகு வரும் 14159 என்பதையும் ஆங்கிலத்தில் டெசிமல்ஸ் என்கிறோம். அதை முன்னர் தமிழில் தசமம் என்று சொல்லிவந்தோம். அது சமஸ்கிருதச் சொல் என்பதால் இப்போது பதின்மம் என்று அழைக்கிறோம். மூன்று பதின்மத்துக்கு ஓர் எண்ணைச் சொல்லவும் என்றால் புள்ளிக்குப் பிறகு மூன்று எண்கள் மட்டும் இருக்குமாறு சொல்லவும் என்று பொருள். $\pi$ என்பதை இரண்டு பதின்மத்துக்குச் சொல்லவேண்டும் என்றால் அது 3.14. மூன்று பதின்மத்துக்குச் சொல்லவேண்டும் என்றால் 3.142. நான்கு பதின்மத்துக்கு என்றால் 3.1416. இப்படியாக.]

நேற்று, ராமானுஜன் உருவாக்கியிருந்த ஒரு சூத்திரத்தைப் பார்த்தோம். இப்போது மேலும் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்.

பழமை நாகரிகத்தினர் $\pi$ என்பதற்கு விகிதமுறு எண்களைக் கொண்டு நெருங்கிய, தோராயமான மதிப்புகளைக் கொடுத்திருந்தனர் அல்லவா? ராமானுஜன் விகிதமுறா எண்களைக் கொண்டு மூன்று அழகான மதிப்பீடுகளை அளித்தார்.

$\pi \approx \dfrac{9}{5} + \sqrt{\dfrac{9}{5}}$

மற்றொன்று, $\pi \approx \dfrac{19 \sqrt{7}}{16}$

மற்றொன்று, $\pi \approx (9^2 + \dfrac{19^2}{22})^{\frac{1}{4}}$

இதில் கடைசியாகக் கொடுத்தது பத்து பதின்மங்களுக்குத் துல்லியமாக வரக்கூடியது. இந்தச் சூத்திரங்களை ராமானுஜன் எப்படி உருவாக்கினார்? கடைசியாகக் கொடுத்தது உள்ளுணர்வினால் என்றே அவர் எழுதுகிறார். ஆனால் அதற்குமுன் இருக்கும் இரண்டும் வரைகணித முறைப்படி விளக்கக்கூடியவை. இவற்றை அடுத்த சில பதிவுகளில் பார்ப்போம்.

இப்போது மீண்டும் ராமானுஜனின் $\pi$ சூத்திரங்களுக்கு வருவோம்.

$\dfrac{2}{\pi} = 1 - 5 (\dfrac{1}{2})^3 + 9 (\dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4})^3 - 13 (\dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6})^3 + \cdots$

$\dfrac{4}{\pi} = 1 + (\dfrac{1}{2})^2 + (\dfrac{1}{2 \cdot 4})^2 + (\dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6})^2 + (\dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8})^2 + \cdots$

$\dfrac{1}{\pi} = \dfrac{1}{72} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{(4k)! (23 +260 k)}{(k!)^4 4^{4k} 18^{2k}}$

$\dfrac{1}{\pi} = \dfrac{1}{3528} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{(4k)! (1123 +214660 k)}{(k!)^4 4^{4k} 882^{2k}}$

கடைசி இரண்டு சூத்திரங்களைப் பார்க்கும்போது, ராமானுஜன் கையில் வேறு ஏதோ சரக்கு ஒன்று இருந்திருக்கிறது என்பதை நீங்கள் ஊகிக்கலாம். ஒரே பால். கொஞ்சம் டீ டிகாக்‌ஷனைக் கலந்தால் டீ. காபி டிகாக்‌ஷனைக் கலந்தால் காபி. இரண்டும் பார்க்க கிட்டத்தட்ட ஒரே நிறம். (சுவை வேறு வேறு!) அதேபோல ஏதோ ஜெனரேட்டிங் ஃபங்க்‌ஷன் ஒன்றை வைத்துக்கொண்டு அதில் சில பல எண்களைப் போட்டு விளையாடி கிண்டிக் கிண்டி எடுத்தால் என்னென்னவோ சூத்திரங்கள் வருகின்றன. இந்தமாதிரி விளையாட்டில் ராமானுஜன் சமர்த்தர்.

$\pi$ பற்றி மேலும் பலவற்றைத் தெரிந்துகொள்ள விக்கிபீடியா பக்கத்துக்குச் செல்லுங்கள்.

Like this:

Be the first to like this post.

Comments (5)

5 Comments »

This is good start. I think you are making too much tamil. Am sure you understand that Cycle is more easy to understand than “MITHIVANDI”. I accept, that it is bad on us or rather me.

Appreciate all the efforts that you are putting. Please continue this nice work.

Comment by Sugu — August 25, 2011 @ 10:44 pm

Reply
பத்ரி சார் ,
கணக்கு அவசியம் தேவை ,
எனது தந்தை கை விரல்களில்
ஒரு விரலில் மூணு பாகம் x ஐந்து விரலில் = 15 அணா
இப்படி எண்ணி கொண்டு ஆள்காட்டி விரலை மடக்கி மற்ற விரல்களை
மூடி 16 அணா = ஒரு ரூபாய் என
சொல்லி கொடுத்த 16 அணா ஒரு ரூபாய் , அரை ரூபாய்
எனக்கு நல்லா புரிஞ்சிச்சு
கணக்கு
எங்கு ,எப்படி , எதற்கு ,எவ்வாறு பயன் படுத்துகின்றனர்
என பதிவு செய்தால் அனைவருக்கும் பயனாகும்

Comment by meenakshisundaram natarajan — August 25, 2011 @ 11:59 pm

Reply
பத்ரி,

If you can translate these articles as well:

http://topics.nytimes.com/top/opinion/series/steven_strogatz_on_the_elements_of_math/index.html

-பாலா

Comment by பாலா — August 26, 2011 @ 2:03 am

Reply
அட,பத்ரியின் மற்றுமொரு பயனுள்ள பதிவு..வாழ்த்துகள் !!

Comment by மணியன் — August 26, 2011 @ 6:53 am

Reply
very nice. when you explain some formula or theorem, if you explain where it can be used in our real life or where it is being used, that would be very helpful to understand the advantage.

Comment by npathivu — August 26, 2011 @ 9:32 am

Reply