வட்டத்திலிருந்து சதுரம், சதுரத்திலிருந்து முக்கோணம்

August 27, 2011

வட்டத்திலிருந்து சதுரம், சதுரத்திலிருந்து முக்கோணம்

Filed under: Uncategorized — bseshadri @ 8:46 pm

நாம் போகவிரும்புவது வட்டத்தை நோக்கித்தான் என்றாலும் முதலில் சதுரத்தைப் பற்றித்தான் நேற்று பார்த்தோம். அதாவது குறிப்பிட்ட சுற்றளவைக் கொடுத்துவிட்டால், அதைக்கொண்டு பல்வேறு (எண்ணற்ற) செவ்வகங்களை உருவாக்கலாம்; ஆனால் எதன் பரப்பளவு அதிகமாக இருக்கும் என்ற கேள்வியை நேற்று கேட்டோம். அதற்கான பதில், அந்தச் சுற்றளவைக் கொண்டு உருவாக்கும் சதுரம் என்று வந்தது. அத்துடன், செவ்வகமாக எடுத்துக்கொள்ளாமல் நாற்கோணமாக (நாற்கரமாக) எடுத்துக்கொண்டிருந்தால் என்ன பதில் வந்திருக்கும் என்ற கேள்வியை எழுப்பியிருந்தேன். அடுத்து ஐங்கோணம், அறுகோணம் போன்றவற்றைவேறு பார்க்கவேண்டும். ஆனால் அதற்கெல்லாம் அடிப்படையாக முக்கோணத்தை நாம் பார்க்கவேண்டும்.

ஏனெனில் மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட பக்கங்கள் கொண்ட எந்த வடிவத்தையும் பல முக்கோணங்களாக நம்மால் மாற்றமுடியும். முக்கோணத்துக்கான விதிகளைக் கண்டறிந்துவிட்டால் பிற கணக்குகளை முக்கோணத்துக்கு மாற்றி விடை காணமுடியும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றளவை ( $P$ ) எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். அதைக்கொண்டு ஏகப்பட்ட முக்கோணங்களை உருவாக்க முடியும். அதில் எந்த முக்கோணத்துக்குப் பரப்பளவு மிக அதிகமாக இருக்கும்?

இதை இரண்டு படிகளில் தீர்க்க முயற்சி செய்வோம். முக்கோணத்துக்கு மூன்று பக்கங்கள் உள்ளன. அதில் ஒரு பக்கத்தை, அதாவது அடிப்பக்கத்தை நிலையான ஓர் எண்ணாக ( $a$ ) வைத்துக்கொள்வோம். மீதமுள்ள இரண்டு பக்கங்களையும் ( $b, c$ ) நம் இஷ்டத்துக்கு மாற்றுவோம். ஆனால், $a + b + c = P$ என்பது ஒரு கட்டுப்பாடு.

இங்கு $a$ என்பதை நிலைகொள்ள வைத்திருப்பதால், $b + c = P - a$ . இங்கு $P - a$ என்பது ஒரு மாறிலி. வசதிக்காக, இதனை $2q$ என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

இப்போது $x$ என்ற மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம். இதன்மூலம், $b, c$ இரண்டையும் $x$ என்பதன் வாயிலாகத் தருவோம்.

$b = q + x$ என்று எடுத்துக்கொள்வோம். அப்படியானால், $c = 2q - q - x = q - x$ .

முக்கோணத்தில் பரப்பளவைக் கணிக்க ஹீரோவின் சூத்திரம் (Hero’s Formula) என்ற ஒன்று உள்ளது. இதனைத் தருவிப்பது இங்கு நமது நோக்கம் அல்ல; ஆனால் எளிதாக இதனைச் செய்யமுடியும். அந்தச் சூத்திரத்தின்படி,

$A = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}; s = \dfrac{P}{2}$

பரப்பளவு ( $A$ ) பெருமமாக (maxima) இருக்கவேண்டும் என்றால், பரப்பளவின் வர்க்கமும் ( $A^2$ ) அப்படியே இருக்கவேண்டும்தானே? ஏன் வர்க்கத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம் என்றால், கால்குலஸ் டிஃபரென்ஷியல் எல்லாம் செய்யும்போது எளிதாக இருக்கும் என்பதால்.

$B = A^2= s(s-a)(s-q-x)(s-q+x) = s(s-a)((s-q)^2 - x^2)$

இப்போது பெருமம்-சிறுமம் கண்டுபிடிக்கும் முறையைப் பின்பற்றுவோம்.

$\dfrac{d B}{d x} = s(s-a)(-2 x) = 0$

அப்படியானால், $x = 0$

இந்த மதிப்பில், $\dfrac{d^2 B}{d x^2} = -2s(s-a) < 0$

எனவே நாம் கண்டுபிடித்தது பெருமம். $x = 0$ என்றால், $b = c = q$ .

அதாவது நமக்குக் கிடைப்பது இருசமபக்க முக்கோணம் (Isosceles Triangle). ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவையும் அடிப்பக்கத்தையும் கொடுத்துவிட்டால், அதன் பரப்பளவை அதிகமாக இருக்கவேண்டுமானால் அது இருசமபக்க முக்கோணமாக மட்டுமே இருக்கமுடியும்.

இப்போது நம் கணக்கின் இரண்டாவது கட்டத்துக்குப் போவோம். எதற்காக அடிப்பக்கத்தை நிலைநிறுத்தவேண்டும்? அதையும் மாறும்படிச் செய்வோமே? ஆனால் அது எப்படி மாறினாலும், ஒவ்வொரு மாற்றத்தின்போதும் அதன்மீது கட்டமைக்கப்படும் இருசமபக்க முக்கோணமே அதிகப் பரப்பளவு கொண்டதாக இருக்கும்.

இப்போது அடிப்பக்கத்தை $a = x$ என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்படியானால், அந்த இரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உயரம் ( $h$ ) எவ்வளவு? அதன் சுற்றளவு ஏற்கெனவே எடுத்துக்கொண்டதுபோல $P$ ஆகும்.

மற்ற இரு பக்கங்களும் $b = c = \dfrac{P - x}{2}$

இப்போது, $h^2 = b^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{P^2 - 2Px + x^2 - x^2}{4} = \dfrac{P (P - 2x)}{4}$

இங்கும் $A^2$ என்பதையே பெருமமாக்க முயற்சி செய்வோம்.

$A = \dfrac{1}{2} ah$

$B = A^2 = \dfrac{1}{4} a^2 h^2 = \dfrac{P x^2 (P-2x)}{16} = \dfrac{P}{16} (P x^2 - 2 x^3)$

$\dfrac{d B}{d x} = \dfrac{P}{16} (2 P x - 6 x^2) = \dfrac{P}{8} x (P - 3x) = 0$

$\Rightarrow x = 0$ அல்லது $x = \dfrac{P}{3}$

ஆனால், $\dfrac{d^2 B}{d x^2} = \dfrac{P}{16} (2 P - 12 x)$

இங்கே $x = \dfrac{P}{3}$ என்றால்தான் $\dfrac{d^2 B}{d x^2} < 0$ . எனவே அதுதான் பெருமம். $x = 0$ என்பது சிறுமம்.

$x = \dfrac{P}{3}$ என்றால், $a = b = c = \dfrac{P}{3}$

அதாவது அந்த முக்கோணம், முழுமையான சமபக்க முக்கோணமாக (Equilateral Triangle) இருந்தால்தான், கொடுத்துள்ள சுற்றளவுக்கு அதன் பரப்பளவு மிக அதிகமாக இருக்கும்.

சூப்பர். இப்போது இந்த இரண்டு விடைகளையும் எடுத்துக்கொண்டு, (அதாவது, பரப்பளவு அதிகமாக இருக்கவேண்டும் என்றால், அடிப்பக்கம் கொடுத்துவிட்டால், இருசமபக்க முக்கோணமாக இருக்கவேண்டும்; அடிப்பக்கம் கொடுக்கப்படவில்லை என்றால் ஒட்டுமொத்தமாக சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கவேண்டும்) அடுத்து ஐங்கோணம், அறுகோணம்… ஆகியவற்றையெல்லாம் ஒரு பார்வை பார்க்கலாமா?

Like this:

Be the first to like this post.

Comments (5)

5 Comments »

மிக அருமையான முயற்சி பத்ரி! நல்ல நடையிலும் எழுதி இருப்பது கண்டு மகிழ்ச்சி அடைகிறேன். வோர்டுபிரசில் இப்படிக் கணிதச்சமன்பாடுகள் இட வசதி இருப்பது அருமை! உங்கள் அருமையான படைப்புகளுக்கு என் பாராட்டுகள், நல்வாழ்த்துகள்! ஒரு சில இடங்களில் மிகச்சிறு திருத்தங்கள் செய்யலாம்: “அதையும் மாறுமாறு செய்வோமே?” என்பதை “அதையும் மாறும்படிச் செய்வோமே?” என்று எழுதலாம். கடைசி பத்தியில் “அருக்கவேண்டும்” என்பது “இருக்கவேண்டும்” என திருத்தவேண்டும்.

Comment by செ.இரா.செல்வக்குமார் !C.R.Selvakumar — September 8, 2011 @ 12:18 am

Reply
நன்றி செல்வக்குமார். மாற்றிவிட்டேன். இந்த வார இறுதியில்தான் அடுத்த பதிவுகளை எழுதவேண்டும்.

Comment by bseshadri — September 8, 2011 @ 8:01 am

Reply
- நன்றி பத்ரி. ஈரோனின் (Heron’s) வாய்பாடு அல்லது ஈரோவின் (Hero’s) வாய்பாடு பற்றி தமிழ் விக்கிப்பீடியாவில் ஒரு பதிவுண்டு அதற்குத் தொடுப்பு கொடுத்தால் பயனுடையதாகவும் இருக்கும். இதோ அதற்கான தொடுப்பு: http://tawp.in/r/10vy மேலும் “வர்க்கம்” என்பதோடு பிறைக்குறிகளுக்குள் “இருபடியம்” அல்லது “இருமடி” போன்ற சொல்லாட்சிகளும் தருவது உதவும். கலைச்சொற்களில் சீர்மை பேணாதிருப்பது நாம் செய்துவரும் பெரிய தவறு. இப்போதைக்கு இப்படிச் செய்ய வேண்டியுள்ளது! இதே போல “கால்குலஸ் டிஃபரென்ஷியல்” என்று நீங்கள் எழுதியிருக்கும் இடத்திலும் முடிந்தால் பிறைக்குறிகளுக்குள்ளேனும் “நுண்பகுமியக் கணிதத்தில் நுண்பகுமியக் கெழு கண்டுபிடிக்க” என்பது போன்ற சொற்களையும் அறிமுகப்படுத்தலாம். நீங்கள் செய்வது தமிழ் வ்லைப்பதிவு உலக வரலாற்றில் முன்னோடியானது! வாழ்க உங்கள் நற்பணி (அதுவும் இத்தனை பணிகளுக்கும் நடுவே!)!
  
  Comment by செ.இரா.செல்வக்குமார் !C.R.Selvakumar — September 8, 2011 @ 8:52 am
  
  Reply
திரு.பத்ரி, எனக்கு ஒரு சந்தேகம். ஒரு வட்டத்துக்குள் நான் நான்கு செங்கோண முக்கோணங்கள் அடங்கியிருக்கின்றன, அதுபோக எஞ்சிய பகுதி அதாவது பரிதி மற்றும் செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்றாம் பகுதி (=sqrt(2(r^2))). அந்த வடிவத்திற்கு என்ன பெயர்… அதற்கு ஏதாவது ஃபார்முலா இருக்கிறதா..?

ஏன் கேட்கிறேன் என்றால் 4*(நான்கு செங்கோண முக்கோணங்களின் பரப்பளவு + நான்கு எஞ்சிய வடிவத்தின் பரப்பளவு) = வட்டத்தின் பரப்பளவு (தோராயமாக) என்று பார்க்க விரும்புகிறேன்.

Comment by saravananblog — November 9, 2011 @ 8:58 pm

Reply
- //அந்த வடிவத்திற்கு என்ன பெயர்… அதற்கு ஏதாவது ஃபார்முலா இருக்கிறதா..? //
  நீங்கள் குறிப்பிடும் வடிவத்திற்குக் குறிப்பிட்ட பெயரை எங்கும் படித்ததில்லை. தேவைஎனில் வட்டத்துண்டு என்று சொல்லிக் கொள்ளலாம்.
  எந்த ஒரு வட்டத்துக்குள்ளும் 4 செங்கோண முக்கோணங்கள் இருக்கின்றன என்பதைவிட வட்டத்தின் விட்டத்தை (diameter) மூலைவிட்டமாகக்கொண்ட ஒரு மிகப் பெரிய சதுரம் இருக்கும் என்று வைத்துக்கொள்ளலாம். அந்த சதுரத்தில் நான்கு செங்கோண முக்கோணங்கள் இருக்கும் என்பது சரிதான், (முதலில் எடுத்துக்கொண்ட விட்டத்திற்கு நேர்க்குத்தாக (perpendicular) இன்னொரு விட்டத்தை வரைந்து கொள்ளவும்)
  வட்டத்தின் ஆரத்தின்அளவு r என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்போது விட்டத்தின் அளவு 2r
  இப்போது அந்த நான்கு செங்கோண முக்கோணங்களின் பரப்பளவு = 4 x [ 0.5 x r x r ] அதாவது 2r^2 ( twice r squared )
  வட்டத்தின் பரப்பளவு (22/7) x r x r என்பதால் நீங்கள் குறிப்பிட்ட அந்த நான்கு வட்டத்துண்டுகளின் மொத்தப் பரப்பளவு
  (22/7) r^2 – 2 r^2 அல்லது ( 22/7 – 2 ) r^2 என்று சொல்லலாம். இதன்மூலம் ஒரு வட்டத்துண்டின் பரப்பளவு தோராயமாக 0.2855 r^2
  எனலாம்.
  
  Comment by balarajangeetha — December 24, 2011 @ 12:25 am
  
  Reply