மூன்று இலக்க ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள்

September 11, 2011

மூன்று இலக்க ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள்

Filed under: Uncategorized — bseshadri @ 2:26 pm

மூன்று இலக்க ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்களை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்று இமயவல்லி என்ற எட்டாம் வகுப்புப் பெண் ஜூனியர் மேத்தமேடிசியன் இதழில் எழுதிய முறையை இங்கே கொடுக்கிறேன்.

மூன்று இலக்க எண்ணை $abc$ என்று வைத்துக்கொள்வோம். இங்கே $1 \leq a \leq 9; 0 \leq b, c \leq 9$ . கவனியுங்கள், இங்கே $a$ என்பது 1 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஆனால் 9 அல்லது அதற்குக் குறைந்ததாக இருக்கவேண்டும். அதாவது 0 ஆக இருக்கமுடியாது. $a = 0$ என்றால், அது மூன்றிலக்க எண் கிடையாது. ஆனால் $b, c$ இரண்டும் 0 ஆகவும் இருக்கலாம். 9 அல்லது அதைவிடக் குறைவாக இருக்கவேண்டும்.

இந்த எண் ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்ணாக இருக்கவேண்டும் என்றால்,

$a^3 + b^3 + c^3 = 100 a + 10 b + c$

$b^3 + c^3 - (10 b + c) = 100 a - a^3 = a (100-a^2) = a(10-a)(10+a)$

$b, c$ இரண்டுமே 9-ஆக இருந்தால், $10 b + c$ -இன் அதிகபட்ச மதிப்பு 99. இரண்டுமே 0 என்று இருந்தால், குறைந்தபட்ச மதிப்பு 0. அதாவது,

$0 \leq 10b + c < 100$ அல்லது, $b^3 + c^3 > a(10-a)(10+a)$

$b^3 + c^3 - 100 < a(10-a)(10+a)$

இரண்டையும் இணைத்தால்,

$a(10-a)(10+a) < b^3 + c^3 < a(10-a)(10+a) + 100$

இப்போது $a$ பல்வேறு மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்ளும்போது, $b^3 + c^3$ எந்த எல்லைக்குள் இருக்கும் என்பதற்கு நாம் ஓர் அட்டவணையை உருவாக்கலாம்.

a	$a(10-a)(10+a)$	$b^3 + c^3$
1	99	[99,199]
2	192	[192,292]
3	273	[273,373]
4	336	[336,436]
5	375	[375,475]
6	384	[384,484]
7	357	[357,457]
8	288	[288,388]
9	171	[171,271]

இது ஒரு பக்கம் இருக்க, நாம் அடுத்து மட்டுக் கணக்கு என்றால் என்ன அன்று பார்க்கவேண்டும். ஆங்கிலத்தில் மாடுலர் அரித்மெடிக் என்போம்.

123-ஐ 10-ஆல் வகுத்தால் மீதி என்ன? 3-தானே? மட்டுக் கணக்கில், இதனை $123 \equiv 3 \pmod{10}$ என்று எழுதுவோம்.

பத்துக்கு மட்டும்தான் இப்படி என்று இல்லை. 123-ஐ 2-ஆல் வகுத்தால் மீதி 1. இதனை $123 \equiv 1 \pmod{2}$ என்போம்.

இதைப் பற்றி மேற்கொண்டு கொஞ்சம் பார்த்தால்தான் நாம் இந்த ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் கணக்கைத் தொடரமுடியும். அதனை அடுத்த பதிவில் பார்ப்போம்.

Like this:

Be the first to like this post.

Comments (2)

2 Comments »

I have been reading your posts in this blog regularly. Am waiting for your next post!

It is very interesting to read mathematical concepts in Tamil. Especially, the introductory posts on Pi are very informative. Also, I thought that Armstrong Numbers existed for only 3 digit numbers, until I read your previous post.

Please Continue.

Comment by Arunram A — October 9, 2011 @ 1:12 pm

Reply
கடவுளே.. படிக்கும்போதே தலை இந்த சுத்து சுத்துதே.. எட்டாவது படிக்கும் இமயவல்லியால் எப்படித்தான் இதையெல்லாம் எழுத முடிந்ததோ? நானெல்லாம் எட்டாவது படிக்கும்போது (a+b)^2 ஃபார்முலா சொன்னால் கை தட்டுவார்கள்.

எப்படியோ ஒரு வழியாக b^3+c^3-ன் Range (வரையறை / எல்லை?) தெரிந்து விட்டது. 100 to 484. இதிலிருந்து அந்த நான்கு எண்களை (153, 370, 371, 407) எப்படிக் கொண்டுவரப் போகிறார்? இதற்கும் மட்டு-க்கும் என்ன சம்பந்தம்…? ம்ம்.. ஆர்வமாக உள்ளேன்

Comment by saravananblog — November 10, 2011 @ 1:11 pm

Comment by saravananblog — November 10, 2011 @ 1:16 pm

Reply

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

கணிதம்

September 11, 2011