தொடர்களின் கூட்டல்

Uncategorized

சின்ன வகுப்பில் நாம் படித்திருக்கும் ஒரு சமன்பாடு இது:

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n (n+1)}{2}

வரிசையாக இருக்கும் பல இயல் எண்களைக் கூட்டவேண்டும் என்றால், அதற்கான எளிய சமன்பாடு இது. அதாவது,

1 + 2 + 3 + \cdots + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = \frac{110}{2} = 55

1 + 2 + 3 + \cdots + 273 = \frac{273 \cdot 274}{2} = 273 \cdot 137 = 37401

இது ஒருவிதத்தில் கூட்டல் தொடர் என்பதன் எளிய வடிவமே. கூட்டல் தொடர்கள் இப்படியாகப்பட்டவை.

1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 63 என்பதாகப்பட்டது ஒற்றைப்படை எண்களை மட்டும் கூட்டுவது. இதில் அடுத்தடுத்த இரு எண்களுக்கு இடையேயான வித்தியாசம் 2.

7 + 11 + 15 + \cdots + 599 என்பதில் அடுத்தடுத்த இரு எண்களுக்கு இடையேயான வித்தியாசம் 4.

இப்படி அடுத்தடுத்த எண்களுக்கு இடையேயான வித்தியாசம் d என்றும், முதல் எண் a என்றும் வைத்துக்கொண்டால், அந்தத் தொடர் இப்படியாகச் செல்லும்.

a + (a+d) + (a+2 d) + (a + 3 d) + \cdots + (a + (n-1) d)

இந்தத் தொடரின் கூட்டுத் தொகையைக் கணிக்க ஒரு சமன்பாடு உள்ளது.

= n \frac{2 a + (n-1) d}{2}

இதை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்பது வீட்டுப்பாடம்! இந்தச் சமன்பாட்டை ஐந்தாம் நூற்றாண்டில் ஆர்யபடா கொடுத்திருந்தார் என்கிறது விக்கிபீடியா.

ஆனால், இந்த எளிமையான கணக்குகளிலிருந்து ஒரு படி மேலே செல்ல முயற்சிப்போம். இப்போது நாம் கணக்கிடப்போவது கூட்டல் தொடர் அல்லது பெருக்கல் தொடர் என்ற எளிதான வரையறைக்குள் வராத ஒன்று.

S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2

இந்தத் தொடருக்கு என்ன விடை?

S = \frac{n (n+1) (2 n + 1)}{6}

சரி, இந்த விடை எப்படி வந்தது? அதற்குமுன், இதற்கு அடுத்த படியின் கூட்டலையும் பார்ப்போம்.

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = {(\frac{n (n+1)}{2})}^2

அடுத்து?

1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}

கொஞ்சம் கால்குலஸ் (நுண்கணிதம்) தெரிந்தால் இவற்றையெல்லாம் எளிதாகத் தருவித்துவிடலாம். அவற்றை அடுத்த ஒரு பதிவில் செய்து காட்டுகிறேன். ஆனால் இந்தக் கூட்டல் கணக்கு அத்துடனும் முடிந்துவிடப்போவதில்லை. மேலும் தொடர்ந்து உயர் கணிதத்தின் சில சுவாரசியமான விஷயங்களை நமக்குக் காட்டப்போகிறது.

9 thoughts on “தொடர்களின் கூட்டல்”

  3. Pingback: மேலும் சில கூட்டல்கள் « கணிதம்

  4. sir s = n (n+1)(2n+1)/6 formula எப்படி வந்ததுனு கொஞ்ஜம் விளக்குங்க sir

    1. இது எப்படி வருகிறது என்பதை அடுத்த ஒரு பதிவில் தருவித்திருக்கிறேன். அதற்கு கால்குலஸ் தெரிந்திருக்கவேண்டும். அடுத்த பதிவைப் பாருங்கள்.

  5. 1×3 +2 x 3 + 3 x 3+……………….+n x 3 ={ n (n+1)/2} x 2
    ithula n(n+1)/2 to the power of 3 thana sir.
    how it is coming 2,
    sorry to disturb

    1. \sum k^3 என்பதற்கான விடை எப்படி (\frac{n(n+1)}{2})^{2} என்று ஆனது, ஏன் (\frac{n(n+1)}{2})^{3} என்று ஆகவில்லை என்பதுதானே உங்கள் கேள்வி? நாம் நினைத்தமாதிரியெல்லாம் சமன்பாடுகள் இருக்கா. அவை எப்படி இருக்குமே அப்படித்தான் இருக்கும். இதுவும் எப்படி இப்படியாகிறது என்பதை கால்குலஸ்மூலமாகத்தான் தருவிக்க முடியும். மேலே சொன்னதுபோல அடுத்த இரண்டு பதிவுகளையும் முழுமையாகப் பாருங்கள்.

  6. I like the flow of your tamil. its more friendlier- like a young tution teacher than class teacher!
    esply u r not getting on to stage and lecture(dictate!!), instead u make the learner feel “We” r attempting and trying to solve together.
    Any reader, student will like this team approach, that does not distance him away! wish many teachers too adopt this teaching( facilitating) technique. Thank u , keep the numbers rolling- uthra

Leave a reply to முரளிகண்ணன் Cancel reply