பலபடித் தொடர்களின் கூட்டல்

Uncategorized

1 + 2 + 3 + \cdots + n என்று தொடங்கி 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 என்பதுவரையிலான கூட்டல் தொடர்களைப் பார்த்தோம். உடனேயே அடுத்த கேள்வி உங்கள் மனத்தில் தோன்றியிருக்கவேண்டும். இதுவரைமட்டும்தானா? அல்லது இதற்குமேலும் கூடுமா? அதாவது 1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 என்பதற்கோ 1^{234} + 2^{234} + 3^{234} + \cdots + n^{234} என்பதற்கோ அல்லது மேலும் பொதுப்படையாக 1^j + 2^j + 3^j + \cdots + n^j என்பதற்கோ டக்கென்று ஒரு சமன்பாட்டைக் கொடுத்துவிட முடியுமா?

இதற்கான பதிலைச் சொல்வதற்குமுன், 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 என்பதற்கான விடையைத் தருவிக்கப் பார்ப்போம். அருகில் கொடுத்திருக்கும் படத்தைப் பாருங்கள். படத்தில் y = x^2 என்பதை வரைந்திருப்பதாக வைத்துக்கொள்ளுங்கள். மேலே சொல்லியிருக்கும் கூட்டுத்தொகையும் படத்தில் உள்ள அடுக்குமாடிக் கட்டடம் போன்ற செவ்வகச் செங்கற்களின்கீழே இருக்கும் பரப்பளவின் கூடுதலும் ஒன்றுதான் என்பதை ஏற்றுக்கொள்கிறீர்களா? ஏன் என்றால் இந்த ஒவ்வொரு செவ்வகத்தின் அகலமும் 1. உயரம் k^2.

ஆக, \sum_{k=1}^{n}{k^2} = \sum_{k=1}^{n} (A_k + E_k) = \sum_{k=1}^{n} A_k + \sum_{k=1}^{n} E_k

இங்கே A_k என்பது ஒவ்வொரு செவ்வகச் செங்கற்களுக்கு உள்ளே, வளைந்த கோட்டுக்குக் கீழே இருக்கும் பரப்பு. E_k என்பது வளைந்த கோட்டுக்கு மேலே இருக்கும் பரப்பு. இரண்டையும் சேர்த்துக் கூட்டினால்தானே மொத்தச் செங்கல் பரப்பு நமக்குக் கிடைக்கும்?

இண்டெக்ரல் கால்குலஸில் (தொகை நுண்கணிதம்) பரப்பளவு கண்டுபிடிக்க நாம் இண்டெக்ரேஷனைப் பயன்படுத்துவோம் அல்லவா? அது உங்களுக்குத் தெரிந்திருந்தால்தான் நாம் அடுத்த கட்டத்துக்கே செல்லமுடியும். இந்த \sum A_k என்பதை அழகாக இப்படி எழுதி, விடையையும் அருகிலேயே கொடுத்துவிடலாம்.

\sum_{k=1}^{n} A_k = \int_{0}^{n} x^2 dx = \frac{x^3}{3} |^{n}_{0} = \frac{n^3}{3}

ஆனால் அடுத்த பகுதி கொஞ்சம் இடைஞ்சலானது. அதனை, கட்டம் கட்டமாகக் கணக்கிடவேண்டும். E_k என்பது என்ன? ஒரு செங்கல் கட்டத்தில் வளைந்த பகுதிக்கு மேலே உள்ளது. அப்படியானால் செங்கல்லின் பரப்பிலிருந்து, வளைந்த பகுதிக்குக் கீழே உள்ள பரப்பைக் கழிக்கவேண்டும்.

அதாவது, E_k = k^2 - \int_{k-1}^{k} x^2 dx

அல்லது, E_k = k^2 - (\frac{k^3 - (k-1)^3}{3})

அல்லது, E_k = k^2 - \frac{k^3 - (k^3 - 3 k^2 + 3 k -1)}{3}

இதனை அழகாகச் சுருக்கினால் கிடைப்பது: E_k = k - \frac{1}{3}

இப்போது \sum_{k=1}^{n} E_k = \sum_{k=1}^{n} (k - \frac{1}{3}) = \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} = \sum_{k=1}^{n} k - \frac{n}{3}

கூட்டுத்தொகைக்கான குறியீட்டுக்குள் ஒரு மாறிலி வந்தால் அதன் விடை என்ன என்பது தெரிந்தால்தான் மேலே \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} என்பதைக் கணக்கிட முடியும்.

\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{3} (மொத்தம் n முறை)

அல்லது, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} = \frac{n}{3}

அத்துடன் நமக்கு, \sum_{k=1}^{n} k என்ன என்பது ஏற்கெனவே தெரியும். அதுதான் \frac{n(n+1)}{2} ஆயிற்றே?

எனவே \sum_{k=1}^{n} E_k = \frac{n^2+n}{2} - \frac{n}{3}

அல்லது, \sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} A_k + \sum_{k=1}^{n} E_k = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2+n}{2} - \frac{n}{3} = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n

இதைத்தான் அழகாக \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} என்று எழுதியிருந்தோம்.

இதே முறையைப் பயன்படுத்தி, இண்டெக்ரேஷனைச் செய்தபடியே, \sum n^j என்பதற்கும் விடைகளைக் கண்டுபிடித்துவிடலாம். \sum n^4 வேண்டும் என்றால், அதற்கு முந்தைய வரிசைகளின் கூட்டுத்தொகை சமன்பாடுகள் தெரிந்திருக்கவேண்டும். அவ்வளவுதான் தேவை. ஆனால் ஒவ்வொரு முறையும் இப்படி நீண்ட நெடிய இண்டெக்ரேஷன் கணக்கைப் போட்டு, சுருக்கி, விரித்து எழுதிக்கொண்டே இருக்கவேண்டுமா?

அப்படியென்றால் கணக்கு அவ்வளவாக ருசிக்காதே?

தேவையில்லை. அடுத்து, சில சுவாரசியமான கணித மேதைகளைச் சந்திப்போம். அவர்கள் இந்தக் கணிதச் சிக்கலை எப்படிக் கையாண்டார்கள் என்று பார்ப்போம்.

Advertisements

One thought on “பலபடித் தொடர்களின் கூட்டல்

  1. நல்ல பதிவு. தொடர்ந்து எழுதுங்கள். வாழ்த்துகள்.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s