மேலும் சில கூட்டல்கள்

Uncategorized

சென்ற இரு பதிவுகளில் பல கூட்டல் கணக்குகளைப் பார்த்தோம். அவற்றுக்கான பொதுவான சமன்பாடு இருக்கிறதா என்பதைத் தேடிக்கொண்டிருக்கிறோம்.

அதற்குமுன், வேறு சில சுவாரசியமான கூட்டல் கணக்குகளைப் பார்ப்போம்.

1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n \cdot (n+1) என்ற தொடரை எடுத்துக்கொள்வோம். எடுத்த எடுப்பில் இதற்கு ஒரு அழகான சமன்பாட்டை விடையாகச் சொல்லமுடியும் என்றாவது தோன்றுகிறதா?

இதனை \sum_{k=1}^n k(k+1) என்று எழுதலாம் அல்லவா?

இதனை விரித்தால் நமக்குக் கிடைப்பது \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k

இவை இரண்டுக்கும் நம்மிடம் விடை உள்ளது. முந்தைய பதிவைப் பாருங்கள்.

\frac{n(n+1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n + 1 + 3)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

பார்க்க அழகான ஒரு சமன்பாடாக இருக்கிறது அல்லவா?

அடுத்த ஒரு தொடரை எழுதுவோம்.

1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + n \cdot (n+1) \cdot (n+2)

அல்லது \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n 3 k^2 + \sum_{k=1}^n 2 k

அல்லது \frac{n^2 {(n+1)}^2}{4} + \frac{3 n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{2 n (n+1)}{2}

இவற்றைச் சுருக்கி அழகாக்கினால், நமக்குக் கிடைப்பது: \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}

இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளையும் பார்த்தவுடனேயே இந்தத் தொடரை விரிவாக்கிக்கொண்டே போனால் என்ன கிடைக்கும் என்பது தெரிந்துவிடுகிறது அல்லவா?

அடுத்த பதிவு கொஞ்சம் சீரியஸாகப் போகும்.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s