பெர்னோலி எண்கள் – 1

Uncategorized

பலபடிகளின் கூட்டுத்தொகையை (\sum n^j) 17-ம் நூற்றாண்டிலேயே ஆராய்ந்தார் யாக்கோப் பெர்னோலி (1654-1705). இந்த பெர்னோலி குடும்பமே மிகவும் சுவாரசியமானது. ஒரே குடும்பத்திலிருந்து பல பெர்னோலிகள் கணிதத்துக்கும் இயல்பியலுக்கும் அத்தனை சேவை புரிந்திருக்கிறார்கள். யார் எதைச் செய்தது, யாருக்கு எதனால் பெயர் கிடைத்தது என்பது தொடர்பாக தங்களுக்குள் கொஞ்சம் சண்டையும் போட்டிருக்கிறார்கள்.

சென்ற இரண்டு பதிவுகளின்போது, இந்தக் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க கொஞ்சம் கால்குலஸ் தெரிந்திருக்கவேண்டும் என்று பார்த்தோம். பெர்னோலியின் காலத்துக்குச் சற்றுமுன்னர்தான் இப்போது நாம் பார்க்கும் மாதிரியில் கால்குலஸ் கண்டுபிடிக்கப்பட்டிருந்தது. அதை இருவர் தனித்தனியாகச் செய்திருந்தனர். ஒருவர் நமக்கு மிகவும் தெரிந்த ஐஸக் நியூட்டன். ஆங்கிலேயர். ஒப்புயர்வற்ற இயல்பியலாளர். ஈர்ப்பு விசை பற்றியும் பொருள்களின் இயக்கம் பற்றியுமான விதிகளைக் கொடுத்து, இயக்கவியலின் பிதாமகராகத் திகழ்ந்தவர்.

மற்றொருவர் காட்ஃப்ரெட் லீபினிட்ஸ். ஜெர்மானியர். தத்துவவாதியாகவே அதிகம் அறியப்படுபவர். நியூட்டன் fluxions என்று குறிப்பிட்ட கால்குலஸை கொஞ்சம் சிக்கலான குறியீடுகளைக் கொண்டு செய்திருந்தார். ஆனால் லீபினிட்ஸின் குறியீட்டுமுறை அதைவிடச் சிறப்பானதாக இருந்தது. இன்று நாம் பயன்படுத்தும் கால்குலஸ் குறியீட்டுமுறை லீபினிட்ஸ் உருவாக்கியதே.

கால்குலஸை யார் முதலில் கண்டுபிடித்தது என்பது தொடர்பாக நியூட்டனுக்கும் லீபினிட்ஸுக்கும் கடுமையான வாக்குவாதம் நிகழ்ந்தது. அடுத்தவர் தனது கண்டுபிடிப்பைத் திருடி அபகரித்துக்கொண்டார் என்று இருவரும் ஒருவர்மீது ஒருவர் குற்றம் சாட்டினார். அப்போது நியூட்டன் அதிபுகழ் அடைந்த நிலையில் இருந்தார். அதனால் அறிவுலகம் அவரையே பெரும்பாலும் ஆதரித்தது. ஆனாலும் நியூட்டன் சின்னத்தனமாக பிறரைக் கொண்டு லீபினிட்ஸைக் கடுமையாகத் தாக்கி எழுதினார். தானே லீபினிட்ஸைப் பற்றி அசிங்கமாக எழுதி அதனைப் பிறர் பெயரில் பதிப்பித்தார்.

லீபினிட்ஸிடமிருந்துதான் யாக்கோப் பெர்னோலி கால்குலஸைக் கற்றுக்கொண்டார். மிட்டாய்க் கடைக்குள் நுழைந்த குழந்தைபோல இருந்திருக்கும் அவருக்கு. இந்தப் புதிய கருவியை அவர் தான் பார்க்கும் அனைத்துக் கணிதப் புதிர்கள்மீதும் பிரயோகித்திருக்கவேண்டும்.

அப்படித்தான் (\sum n^j) போன்ற கணக்குகளை அவர் செய்திருக்கவேண்டும். இப்படி அவர் ஒவ்வொரு தொடருக்கும் கூட்டல் சமன்பாட்டை எழுதிக்கொண்டே வந்தபோது தெளிவான வடிவம் எதுவும் கிடைக்கவில்லை.

சென்ற பதிவு ஒன்றில் நாம் செய்த சில கூட்டல்களை எடுத்துக்கொண்டு பார்ப்போம்:

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2} n(n+1)

1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n (n+1) = \frac{1}{3} n(n+1)(n+2)

1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \cdots + n (n+1) (n+2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)

இப்படியே போனால், கீழ்க்கண்ட கூட்டலுக்கான விடையைப் பட்டென்று எழுதிவிடலாம்:

\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) \cdots (k+p) = \frac{1}{p+2} n(n+1)(n+2) \cdots (n+p)(n+p+1)

ஆனால், மாறாக, (\sum n^j) என்பதை எடுத்துக்கொண்டு கிடைக்கும் விடையை எழுதிப் பாருங்கள். ஒரு தெளிவான, அழகான வடிவம் கைக்குச் சிக்குவதில்லை.

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{2} n

\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n

\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} n^4 + \frac{1}{2} n^3 + \frac{1}{4} n^2 + 0 \cdot n

\sum_{k=1}^{n} k^4 = \frac{1}{5} n^5 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{3} n^3 + 0 \cdot n^2 - \frac{1}{30} n

\sum_{k=1}^{n} k^5 = \frac{1}{6} n^6 + \frac{1}{2} n^5 + \frac{5}{12} n^4 + 0 \cdot n^3 - \frac{1}{12} n^2 + 0 \cdot n

\sum_{k=1}^{n} k^6 = \frac{1}{7} n^7 + \frac{1}{2} n^6 + \frac{1}{2} n^5 + 0 \cdot n^4 - \frac{1}{6} n^3 + 0 \cdot n^2 + \frac{1}{42} n

ஏதோ ஒரு பேட்டர்ன் கண்ணுக்குத் தென்பட ஆரம்பிக்கிறது. முதல் இரண்டு துண்டுகள் எளிதாகத் தெரிகின்றன.

\sum_{k=1}^{n} k^p என்பதன் முதல் இரண்டு துண்டுகளும் \frac{1}{p+1} n^{p+1} +  \frac{1}{2} n^p

இன்னொன்றும் தெளிவாக இருக்கிறது. நான்காவது, ஆறாவது போன்றவை ஜீரோவாக உள்ளன. இந்தத் தொடர்களைத் தொடர்ந்து எழுதிக்கொண்டுபோனால், எட்டு, பத்து எல்லாமும் ஜீரோவாகத்தான் இருக்கும் என்று உத்தேசமாக வைத்துக்கொள்வோம். ஆனால், மூன்றாவது, ஐந்தாவது, ஏழாவது … துண்டுகளின் கெழுக்களை (கெழு என்றால் coefficient) எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது?

அடுத்த பதிவில் பார்ப்போம்.

Advertisements

2 thoughts on “பெர்னோலி எண்கள் – 1

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s