பெர்னோலி எண்கள் – 2

Uncategorized

நாம் இப்போது \sum_{k=1}^{n} k^p என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சமன்பாடுகளை எழுதுவதைப் பற்றிப் பார்த்துக்கொண்டிருக்கிறோம். இண்டெக்ரல் கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி, இவற்றுக்கான விடைகளை எப்படிக் கண்டுபிடிக்கலாம் என்று ஒரு பதிவில் குறிப்பிட்டிருந்தேன். அதனை அடுத்து, p=6 என்பது வரையிலான விடைகளையும் எழுதிக் காண்பித்திருந்தேன். விடையில் p+1 துண்டுகள் உள்ளன. அதாவது இப்படி எழுதலாம்:

\sum_{k=1}^{n} k^p = \sum_{j=0}^{p} C_j n^{p+1-j}

இதில் முதல் இரு துண்டுகள் என்ன என்பதையும் பார்த்தோம்.

C_0 = \frac{1}{p+1}

C_1 = \frac{1}{2}

மேலும், C_3, C_5, C_7, அதாவது பொதுவாக C_{2k+1} என்பது ஜீரோ என்றும் பார்த்தோம். ஆக, இப்போது நாம் பார்க்கவேண்டியது C_2, C_4, C_6 \cdots, C_{2k} என்பதற்கு ஏதேனும் பேட்டர்ன் இருக்கிறதா என்பதை. இதனைச் சற்று மெதுவாகவே பார்ப்போம். முதலில் இந்த C_2 எப்படிப் போகிறது என்று பாருங்கள்.

\frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{5}{12}, \frac{1}{2}, \frac{7}{12}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{11}{12} \cdots

இதில் ஒரு பேட்டர்னைத் தேடுவது எளிது. மேலே கொடுத்துள்ள எண்களை இப்படியும் எழுதலாம்.

\frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12}, \frac{11}{12} \cdots

அதாவது, \frac{1}{12} p = \frac{1}{6} \frac{1}{(p+1)} \frac{(p+1)(p)}{(2)(1)}

ஏன் (p+1) என்பதை மேலும் கீழும் கொண்டுவந்தோம் என்பதை விரைவில் பார்ப்போம். அடுத்து C_4 எப்படிச் செல்கிறது என்று பார்ப்போம். அதில் உள்ள மைனஸ் குறியீட்டை இப்போதைக்கு விட்டுவிடுவோம். எண்ணை மட்டும் பார்ப்போம்.

\frac{1}{30}, \frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{7}{24}, \frac{7}{15}, \frac{7}{10}, 1, \frac{11}{8} \cdots

ம்ம்ம். இதில் உள்ள ஒவ்வொரு நம்பரையும் எப்படி மசாஜ் செய்கிறோம் என்பதைப் பொருத்துதான் இதில் ஒரு பேட்டர்ன் இருக்கிறதா என்று தெரியவரும். பார்க்கலாம்…

\frac{1}{30} = \frac{1}{30} \frac{1}{5} \frac{(5)(4)(3)(2)}{(4)(3)(2)(1)}

\frac{1}{12} = \frac{1}{30} \frac{1}{6} \frac{(6)(5)(4)(3)}{(4)(3)(2)(1)}

\frac{1}{6} = \frac{1}{30} \frac{1}{7} \frac{(7)(6)(5)(4)}{(4)(3)(2)(1)}

\frac{7}{24} = \frac{1}{30} \frac{1}{8} \frac{(8)(7)(6)(5)}{(4)(3)(2)(1)}

\frac{7}{15} = \frac{1}{30} \frac{1}{9} \frac{(9)(8)(7)(6)}{(4)(3)(2)(1)}

\frac{7}{10} = \frac{1}{30} \frac{1}{10} \frac{(10)(9)(8)(7)}{(4)(3)(2)(1)}

போதும்! இப்போது ஒரு பேட்டர்ன் தெளிவாகக் கிடைக்கிறது.

C_4 = \frac{-1}{30} \frac{1}{p+1} \dbinom{p+1}{4}

இதேபோலவே C_2 என்பதையும் எழுதலாம்.

C_2 = \frac{1}{6} \frac{1}{p+1} \dbinom{p+1}{2}

இதில் ஒரு வடிவம் தெரிய ஆரம்பித்துவிட்டதா?

C_j = B_j \frac{1}{p+1} \dbinom{p+1}{j}

இதில் \dbinom{p+1}{j} என்பதை காம்பினடோரிக்ஸில் பெர்முடேஷன், காம்பினேஷன் பகுதியில் படித்திருப்பீர்கள். இதனை இப்படித்தான் விரிவாக்கவேண்டும்:

\dbinom{8}{3} = \frac{(8)(7)(6)}{(3)(2)(1)} = 56

மேலே நாம் புதிய மாறிலிகளான B_j என்பவற்றைக் கொண்டுவந்திருக்கிறோம். வேறு வழியில்லை! இதில்,

B_3 = B_5 = B_7 \cdots = 0

B_2 = \frac{1}{6}

B_4 = \frac{-1}{30}

இந்த மாறிலிகளுக்குத்தான் பெர்னோலி எண்கள் என்று பெயர். முதல் இரண்டு பகுதிகளுக்கும் சேர்த்து,

B_0 = 1; B_1 = \frac{1}{2} என்று எழுதலாம்.

யாக்கோப் பெர்னோலியே தன் பெயர் கொண்ட இந்த எண்களில் முதல் சிலவற்றைக் கண்டுபிடித்திருந்தார். இன்று இந்த எண்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு நிறைய கம்ப்யூட்டர் நிரலிகள் உள்ளன. இவை அழகாகப் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. முதல் சில எண்களைப் பார்ப்போம்.

B_0 = 1, B_1 = \frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6}, B_3 = 0, B_4 = \frac{-1}{30}, B_5 = 0, B_6 = \frac{1}{42}

B_7 = 0, B_8 = \frac{-1}{30}, B_9 = 0, B_{10} = \frac{5}{66}, B_{11} = 0, B_{12} = \frac{-691}{2730}

இதற்குப்பின் இந்த பெர்னோலி எண்கள் தத்தரா புத்தராவென்று பெரிதாகப் போய்க்கொண்டே இருக்கின்றன. ஆனால் எல்லாமே விகிதமுறு எண்கள் (ரேஷனல் நம்பர்ஸ்). அதாவது எல்லாமே இரு இயல் எண்களின் பின்னமாகச் சொல்லப்படக்கூடிய எண்கள்.

இந்த பெர்னோலி எண்கள் மட்டும் நமக்குக் கிடைத்துவிட்டால் போதும், மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சமன்பாட்டை இப்படி எழுதிவிடலாம்.

\sum_{k=1}^{n} k^p = \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^{p} B_j \dbinom{p+1}{j} n^{p+1-j}

எவ்வளவு அழகாக உள்ளது மேலே இருக்கும் சமன்பாடு! ஆனால் இதில் கஷ்டமான விஷயமே இந்த பெர்னோலி எண்களைக் கண்டுபிடிப்பது. கம்ப்யூட்டர் கண்டுபிடித்துவிடும் என்று தப்பிக்காமல் யோசியுங்கள். B_{124} என்பது என்ன? சட்டென்று கண்டுபிடித்துவிட முடியுமா? இல்லாவிட்டால் மேலே உள்ள ஃபார்முலாவை வைத்துக்கொண்டு என்ன செய்வது?

முடியும் என்றார் ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன். எப்படி என்று அடுத்துப் பார்ப்போம்.

Advertisements

One thought on “பெர்னோலி எண்கள் – 2

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s