பழசு: π (பை)

Uncategorized

இயற்கையில் மிகச்சில வடிவங்களால் மட்டுமே வட்டம் அல்லது கோளத்துடன் போட்டிபோட முடியும்.

வட்டம் என்பது மிகக் கச்சிதமான ஒரு வடிவம். c என்ற புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். r நீளமுள்ள ஒரு கயிறை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். அந்தக் கயிற்றின் ஒரு முனையை c-யில் வைத்து, கயிற்றை இழுத்துப் பிடித்து மறுமுனையை c-ஐச் சுற்றிவருமாறு செய்யுங்கள். உங்களுக்குக் கிடைக்கும் வடிவம்தான் வட்டம். இதே ஐடியாவை முப்பரிமாணத்தில் செய்து பாருங்கள். உங்களுக்குக் கிடைப்பது கோளம். மையத்திலிருந்து வெளிப்புறத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளிக்குமான தூரம் r ஆக இருக்கும்.

நாம் வாழும் பூமி கிட்டத்தட்ட கோள வடிவமானது. வானில் இருக்கும் பல பொருள்களும் கிட்டத்தட்ட கோள வடிவமானவை. ஒரு துளி நீர் கீழே சொட்டும்போது கோள வடிவை எடுத்துக்கொள்கிறது. (ஈர்ப்பு விசை காரணமாக அந்தக் கோளம் சற்றே மாறுபடும்.)

வட்டத்துக்கு அப்படி என்ன பெருமை? ஒரு கதை சொல்வார்கள். ஓர் அரசன், தன் அவையில் இருந்த புத்திசாலி ஒருவனை மெச்சி, அவனுக்குப் பரிசு கொடுக்க விரும்பினானாம். ஒரு நீண்ட கயிற்றை அவனிடம் கொடுத்து, இந்தக் கயிற்றால் எவ்வளவு இடத்தைச் சுற்றி வளைத்துக்கொள்ள முடியுமோ, அவ்வளவு இடத்தையும் நீயே வைத்துக்கொள்ளலாம் என்றானாம். குறிப்பிட்ட சுற்றளவால் சூழப்பட்ட இடம் மிக அதிகமானதாக இருக்கவேண்டுமானால், அது எந்த வடிவத்தில் இருக்கவேண்டும்? வட்டம் என்பதுதான் இதற்கான விடை. அதேபோல குறிப்பிட்ட பரப்பளவால் சூழப்பட்ட கொள்ளிடம் மிக அதிகமானதாக இருக்கவேண்டுமானால், அந்த வடிவம், கோளமாக இருக்கவேண்டும்.

இதையே மாற்றிச் சொல்வதானால், கொடுத்த கொள்ளளவுக்கு, மிகக் குறைந்த பரப்பளவை எடுத்துக்கொள்ளக்கூடிய வடிவம் என்ன என்ற கேள்வியை எழுப்பலாம். விடை – கோளம்.

இதுபோன்ற பெருமம் (maxima), சிறுமம் (minima) ஆகியவற்றை கால்குலஸ் எனப்படும் நுண்கணிதம் பற்றிப் பார்க்கும்போது எடுத்துக்கொள்வோம். இப்போதைக்கு வட்டத்துக்கு மீண்டும் வருவோம். ஒரு வட்டத்துக்கு r என்பது ஆரமாக (radius) இருந்தால், அந்த வட்டத்தின் சுற்றளவு என்ன? அல்லது, ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் அதன் ஆரத்துக்குமான விகிதம் என்ன? வசதிக்காக, ஆரம் என்பதைவிட விட்டம் (diameter = ஆரத்தைப் போல இருமடங்கு) என்பதை எடுத்துக்கொள்வோம். வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் அதன் விட்டத்துக்குமான விகிதம் என்ன?

இந்தக் கேள்விக்கான விடை சுமார் 3,000 ஆண்டுகளுக்கு முன்னதாகவே பல பழமையான சமூகங்களுக்குத் தெரிந்திருந்தது. பாபிலோனியர்கள், எகிப்தியர்கள், பழைய ஏற்பாட்டு இஸ்ரவேலர்கள், கிரேக்கர்கள், வேதகால இந்தியர்கள், சீனர்கள் என அனைவரும் இதற்கான விடையை அறிந்திருந்தனர். இன்று நாம் இந்த விகிதத்தை \pi என்று எழுதுகிறோம். ‘பை’ என்று அழைக்கிறோம்.

அனைவருக்கும் இது என்ன என்று தெரிந்திருந்தாலும், இதற்கான சரியான விடையைக் கண்டுபிடிக்கச் சிரமப்பட்டனர். அப்போதைய மக்களுக்கு விகிதமுறு பின்னங்கள் மட்டும்தான் தெரிந்திருந்தன என்பதை நினைவில் வைத்துக்கொள்ளுங்கள். எனவே \pi-ஐ இரண்டு எண்களின் விகிதமாகச் சொல்லவேண்டும்.

\pi-க்கு மிக நெருங்கிய முழு எண் 3. \pi-யின் மதிப்பாக, பாபிலோனியர்கள், \frac{25}{8} என்பதையும், எகிப்தியர்கள், \frac{256}{81} என்பதையும், வேதகால இந்தியர்கள், \frac{339}{108} என்பதையும் பயன்படுத்தினர்.

இன்று பள்ளிப்புத்தகங்களில் நாம் பார்க்கும் \frac{22}{7} என்பதை கிரேக்கரான ஆர்க்கிமெடிஸ் கொடுத்தார். ஒரு குறிப்பிட்ட எடையுள்ள பொருள் ஒன்றை நீரில் அமிழ்த்தினால், அந்தப் பொருள், தன் எடையின் அளவுக்கு நீரை வெளியேற்றும் என்பதைக் கண்டுபிடித்த அடுத்த விநாடி பாத் டப்பிலிருந்து அம்மணமாகக் கிளம்பி, யுரேகா என்று கத்திக்கொண்டு தெருவில் ஓடியதாக ஒரு கதை உண்டு!

ஆர்க்கிமெடிஸ் கொடுத்த \pi = \frac{22}{7} என்பதுதான் அந்த எண்ணின் உண்மையான மதிப்பு என்று வாழ்நாள் முழுவதும் நினைத்திருப்பவர்கள். பலகோடி. உண்மையில், \frac{22}{7} என்பது \pi-ஐவிடச் சற்றே பெரியது. சீனர்கள் \frac{355}{113} என்ற விகிதத்தைப் பயன்படுத்தினர். இது \pi-க்கு வெகு அருகில் இருக்கக்கூடியது.

ஆனால் இவை எல்லாமே தோராயமான மதிப்புகளே. ஏன் என்பதை நீங்கள் எளிதாக இந்நேரம் கண்டுபிடித்திருப்பீர்கள். ஏனெனில் \pi ஒரு விகிதமுறா எண். இதற்கான நிரூபணத்தை பின்னர் கட்டாயம் பார்ப்போம். அதற்குத் தேவையான அடிப்படைகளை நாம் இன்னமும் கற்கவில்லை.

\pi முதலில் வரைகணிதம் தொடர்பாகக் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. ஆனாலும் இன்று எந்தத் துறை சார்ந்த கணிதப் புத்தகத்தை எடுத்தாலும், \pi-ஐப் பார்க்காமல் இருக்கமுடியாது.

ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜனுக்கு \pi மீது தீராக் காதல் இருந்தது. தன்னுடைய நோட்டுப்புத்தகத்தில் \pi-ஐக் கணக்கிட பல முடிவில்லா தொடர்களை (Infinite series) அவர் எழுதிவைத்திருந்தார். மேலோட்டமாகப் பார்க்கும்போது, எங்கிருந்து இந்தத் தொடர்கள் வந்தன என்று யாருக்கும் புரியாது. உதாரணத்துக்கு இந்தச் சமன்பாட்டைப் பாருங்கள்:

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)! (1103 + 26390k)}{(k!)^4 (396)^{4k}}

இது ஒரு முடிவற்ற தொடர். அதாவது எல்லையில்லாத, முடிவே இல்லாத பல எண்களின் கூட்டுத்தொகை இது. மேலே உள்ள சமன்பாட்டில், ஃபேக்டோரியல் என்று சொல்லப்படும் k! என்ற ஒன்று உள்ளது. இங்கே k என்பது ஒரு நேர் முழு எண் (Positive integer).

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040

k! = k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1

மேலும், 0! = 1

அதேபோல, x^0 = 1, x எதுவாக இருந்தாலும்.

இவற்றை வைத்துக்கொண்டு, \pi-க்கான மேலே உள்ள முடிவற்ற தொடரின் ஒவ்வோர் எண்ணையும் கண்டுபிடிக்க ஆரம்பித்தால், முதல் எண் 1103 என்று வரும். இரண்டாம் எண் \frac{4! (1103 + 26390)}{396^4} = \frac{659832}{24591257856}. ஒரு ஜாலிக்காக மூன்றாம் எண்ணைக் கண்டுபிடித்தால் வருவது, \frac{2172562560}{604729962940281716736}. இதற்கும் அடுத்த எண்ணை கால்குலேட்டர் கொண்டு கண்டுபிடிக்க நினைத்தால், உங்களுக்கு என் ஆசீர்வாதங்கள்! இனி வரும் எண்கள் எல்லாமே சுழியத்துக்கு மிக அருகில் செல்வதால், அவற்றை வெட்டிவிடலாம். இப்போது \pi-ன் மதிப்பு என்ன என்று பார்க்கலாமா?

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801}(1103 + \frac{659832}{24591257856} + \frac{2172562560}{604729962940281716736})

அடுத்த பதிவில், ராமானுஜன் \pi-ன் மதிப்பைக் கணக்கிடக் கண்டுபிடித்த சமன்பாடுகள் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்.

Advertisements

3 thoughts on “பழசு: π (பை)

  1. Good to know that this ‘older’ post will get further additions in terms of various series expansions of “Pi” after your recent interest in Ramanujan’s work! Eagerly looking forward to learn!

  2. My knowledge on maths is a very small circle(!). Due to age I have forgotten many things. But I found your article very interesting. If I remember correct T.S Rajagopalan was the first to write maths in Tami. For long his book was the standard one in Tamil. But that was a text book on maths. But you are presenting maths in a very popular way which can be understood by one who has some elementary knowledge in maths.You are doing a great job.
    Ramadurai

  3. ur mention “அப்போதைய மக்களுக்கு விகிதமுறு பின்னங்கள் மட்டும்தான் தெரிந்திருந்தன என்பதை நினைவில் வைத்துக்கொள்ளுங்கள.” is very commendable. many a times we do not teach history, so we miss to acknowledge the importance of theorems and laws. history and geography are must to appreciate science.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s