வாழ்க்கையே ஒரு வட்டம்

Uncategorized

வட்டம் என்பது ஒரு பிரத்யேகமான வடிவம் என்று சொல்லியிருந்தேன். அதிலிருந்துதான் \pi என்னும் எண் வருகிறது. வரிசையாக சில வடிவங்களை உருவாக்கிக்கொண்டே வரும்போது கிடைக்கும் எல்லையான வடிவம்தான் வட்டம். எப்படி என்று பார்ப்போம்.

உங்களிடம் ஒரு துண்டு நூலைக் கொடுக்கிறேன். அதை வைத்துக்கொண்டு ஒரு இரு பரிமாண, முற்றிலும் மூடிய ஒரு வடிவத்தை நீங்கள் உருவாக்கவேண்டும். அப்படி உருவாக்கிய வடிவத்தின் சுற்றளவு எப்போதும் மாறிலியாக இருக்கும். அதுதான் நாம் எடுத்துக்கொண்ட நூலின் நீளமான P.

உதாரணமாக நான்கு பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தை உருவாக்குவதாக வைத்துக்கொள்வோம். நான்கு பக்கங்கள் கொண்டவை பொதுவாக நாற்கரம் (Quadrilateral) என்று அழைக்கப்படும். செவ்வகம் என்பது நாற்கரத்தின் ஒரு பிரத்யேக வடிவம். இப்போதைக்கு செவ்வகம் என்றே வைத்துக்கொள்வோம். இந்தச் செவ்வகத்தின் நீளம் l என்றும் அகலம் b என்றும் வைத்துக்கொள்ளுங்கள். அப்படியானால் 2(l+b) = P.

நாம் கொஞ்சம் கால்குலஸ் வேலைகளை இப்போது செய்யப்போவதால் இருக்கும் இரண்டு மாறிகளான l, b என்பவற்றில் ஒன்றைக் கொன்றுவிடுவோம். மற்றொன்றை x என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

l = x; b = \frac{P}{2} - x;

இந்தச் செவ்வகத்தின் பரப்பளவை இப்படி எழுதலாம்.

A(x) = lb = x . (\frac{P}{2} - x) = \frac{P}{2} x - x^2

எந்தக் கட்டத்தில் பரப்பளவு மிக அதிகமாக இருக்கும்? கால்குலஸின்படி, இப்படி இருக்கவேண்டும்:

\frac{d A}{d x} = 0

அதுமட்டுமல்ல; மேலே உள்ள சமன்பாட்டின்படி கிடைக்கும் x = x_m, இப்படியாக இருக்கவேண்டும்:

\frac{d^2 A}{d x^2} |_(x=x_m) < 0

\frac{d A}{d x} = \frac{P}{2} - 2 x = 0

\Rightarrow x = \frac{P}{4}

\frac{d^2 A}{d x^2} = -2 < 0

எனவே l = x = \frac{P}{4} என்னும்போதுதான் மிக அதிகமான பரப்பளவு இருக்கும். ஆனால் பாருங்கள், நீளம் இதுவாக இருந்தால், அகலமும் அதே.

b = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{P}{4}

அதாவது அது ஒரு சதுரமாக இருக்கும்போதுதான் அதன் பரப்பளவு மிக அதிகமாக இருக்கும்.

ஆனால், கணக்கு எளிமையாக இருக்கவேண்டும் என்பதற்காக நான் செவ்வகத்திலிருந்து ஆரம்பித்தேன். செவ்வகமாக இல்லாமல் அது ஒரு நாற்கரமாக இருந்தால்? அப்போதும் சதுரம்தான் விடை என்று வந்திருக்குமா?

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s