ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள்

Uncategorized

இரண்டு தொடர்கள் பாதியில் நிற்கின்றன. பெர்னோலி எண்கள். ஐசோபெரிமெட்ரிக் பிராப்ளம் எனப்படும் குறிப்பிட்ட சுற்றளவைக் கொடுத்துவிட்டால் மிக அதிகப் பரப்பளவைத் தரும் வடிவத்தைக் கண்டுபிடிப்பது. விரைவில் தொடர்கிறேன்.

AMTI எனப்படும் இந்திய கணித ஆசிரியர்கள் சங்கம் சென்னையிலிருந்து இயங்கிவருகிறது. அது Junior Mathematician என்ற மாணவர் காலாண்டு இதழை நடத்திவருகிறது. சங்கம், இதழ் இரண்டுமே பி.கே.சீனிவாசனால் தொடங்கப்பட்டது. என் மகள் படிக்கும் பள்ளியில் உயர்நிலை அளவில் அனைத்து மாணவர்களுக்கும் இந்த இதழைக் கொடுத்துவிடுகிறார்கள். ஏழாவது படிக்கும் அவளால் இந்த இதழில் இருக்கும் எதையுமே புரிந்துகொள்ள முடிவதில்லை. தூக்கித் தூர வைத்துவிடுகிறாள்.

செப்டெம்பர் மாத இதழில் இமயவல்லி என்ற எட்டாம் வகுப்புக் குழந்தை ஒன்று எழுதிய கட்டுரை உள்ளது. ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்களைப் பற்றியது. இந்த எண்களுக்கு தன்விரும்பி எண்கள் (Narcissistic Numbers) என்றும் பெயர்.

பத்தடிமானத்தில் நாம் எழுதும் எண்களை எடுத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வோர் எண்ணின் தனித்தனி இலக்கங்களை எடுத்து, அந்த எண் எத்தனை இலக்க எண்ணோ அத்தனை படிகளாக ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் உயர்த்தி அவற்றைக் கூட்டினால் அதே எண் கிடைக்கும் என்றால் அந்த எண்தான் தன்விரும்பி எண் அல்லது ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண். புரியவில்லையா?

178 என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொள்வோம். இது மூன்றிலக்க எண். இதன் வெவ்வேறு இலக்கங்கள் 1, 7, 8 ஆகியவை. எனவே 1^3 + 7^3 + 8^3 என்பதைக் கணக்கிடுங்கள். விடை 856! எனவே இந்த எண் ஒத்துவராது. மாறாக 153 என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். 1^3 + 5^3 + 3^3 = 1 + 125 + 27 = 153. அட… ஆமாம். 153 என்ற எண் ஓர் ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்.

ஒற்றை இலக்க எண் அனைத்துமே ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்களே. ஏனெனில் 5^1 = 5; 8^1 = 8 \cdots

ஆனால், இரட்டை இலக்க எண்கள் எவையுமே ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள் கிடையாது.

ஜூனியர் மேத்தமேடிசியன் இதழில் இமயவல்லி, எப்படி மூன்றிலக்க எண்களில் எவையெல்லாம் ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள் என்று மாடுலர் அரித்மெடிக்கைப் பயன்படுத்திக் கண்டுபிடிக்கலாம் என்று எழுதியுள்ளார். அப்படிக் கிடைக்கும் எண்கள் 153, 370, 371, 407 ஆகியவை. அதேபோல எப்படி நான்கிலக்க எண்களிலும் தன்விரும்பி எண்களைக் கண்டுபிடிக்கலாம் என்று கோடிட்டுக் காட்டியுள்ளார். நான்கிலக்க எண்களில் மொத்தம் மூன்று தன்விரும்பி எண்களே உள்ளன: 1634, 8208, 9474.

முரட்டுத்தனமாக எக்சல் அல்லது சி புரோகிராம் எழுதி ஐந்திலக்க எண்களில் எவையெல்லாம் ஆர்ம்ஸ்டார்ங் எண்கள் என்று கண்டுபிடிக்க முடியும்: 54748, 92727, 93084 ஆகியவை.

தன்விரும்பி எண்கள் பற்றி இந்தப் பக்கத்தில் அருமையான பல தகவல்களை நீங்கள் பெற முடியும். அவற்றில் பல, மிக ஆச்சரியமான தகவல்கள்:

பத்தடிமான எண்களைப் பொருத்தமட்டில்,

  • 60 இலக்கத்துக்கு மேலான எண்கள் எவையுமே தன்விரும்பி எண்கள் அல்ல என்று நிரூபிக்க முடியும்.
  • மிகப்பெரிய தன்விரும்பி எண் 39 இலக்கங்கள் மட்டுமே கொண்டது. அது: 115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401
  • 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39 இலக்கங்கள் கொண்ட எண்களில் மட்டுமே தன்விரும்பி எண்கள் உள்ளன.

பத்தடிமானம் தவிர, அதே முறையில் பிற அடிமானங்களிலும் தன்விரும்பி எண்களைக் கண்டுபிடிக்க முடியும்.

மேலே நான் கொடுத்துள்ள சுட்டியில் அவை பற்றியும் நீங்கள் காணலாம்.

அடுத்த பதிவில் இமயவல்லி மூன்றிலக்கத் தன்விரும்பி எண்களை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்று கொடுத்துள்ள வழிமுறையை விவரிக்கிறேன்.

தன்விரும்பி எண்கள் பற்றிய விக்கிபீடியா பக்கம்.

Advertisements

8 thoughts on “ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள்

  1. ராமதுரையின் கேள்வி
    ஆர்ம்ஸ்டிராங் நம்பர்களுக்கு அப்படியான பெயர் ஏற்பட்டது ஏன்? யார் அந்த ஆர்ம்ஸ்டிராங்? கணித மேதையா?
    ராமதுரை

  2. ராமதுரை: இந்தச் சுட்டியைப் பாருங்கள்: http://blog.deimel.org/2010/05/mystery-solved.html

    ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் என்பவர் கம்ப்யூட்டர் சயன்ஸ் ஆசிரியராக இருந்து மாணவர்களுக்கு இது தொடர்பான அசைன்மெண்ட் ஒன்றை 1960-களில் கொடுத்துள்ளார். கூடவே இந்தப் பக்கத்தையும் பாருங்கள்: http://www.deimel.org/rec_math/DI_0.htm

  3. ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள் என்றும் தன்னை விரும்பும் எண்கள் என்றும் இன்று நாம் சொல்வதற்கு மேலாகப் பலவிதமான சுவாரசியமான எண்களை ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் குறிப்பிட்டுள்ளார். மொத்தம் நான்குவிதமான எண்கள். அவை பற்றிய வரையறைகளை அவருடைய ஒரிஜினல் தாளிலிருந்து இங்கே காணலாம்.

    http://www.deimel.org/rec_math/armstrong.pdf

  4. //முரட்டுத்தனமாக எக்சல் அல்லது சி புரோகிராம் எழுதி ஐந்திலக்க எண்களில் எவையெல்லாம் ஆர்ம்ஸ்டார்ங் எண்கள் என்று கண்டுபிடிக்க முடியும்..
    விழுந்து விழுந்து சிரித்தேன் 🙂

    தங்களின் கணித பதிவுகள் ஆர்வமூட்டுபவையாக உள்ளன. நேரம் கிடைக்கும்போதெல்லாம் (எப்படியாவது கிடைக்கவைத்து… ப்ளீஸ்) இன்னும் நிறைய எழுதுங்கள்.
    இந்த பகா எண்கள் (Prime Numbers), பிதாகரஸ் தேற்றம் இவற்றிற்கெல்லாம் ரொம்பவும் உபயோகமான பயன்பாடுகள் இருப்பதாக எங்கோ கேட்டதாக நினைவு. எங்கே பயன்படுத்துகிறோம் என்றுதான் தெரியவில்லை.. அதையும் தெளிவுபடுத்தினால் மிக்க மகிழ்ச்சி அடைவேன். நன்றி.

  5. கடவுளே.. படிக்கும்போதே தலை இந்த சுத்து சுத்துதே.. எட்டாவது படிக்கும் இமயவல்லியால் எப்படித்தான் இதையெல்லாம் எழுத முடிந்ததோ? நானெல்லாம் எட்டாவது படிக்கும்போது (a+b)^2 ஃபார்முலா சொன்னால் கை தட்டுவார்கள். 🙂

    எப்படியோ ஒரு வழியாக b^3+c^3-ன் Range (வரையறை / எல்லை?) தெரிந்து விட்டது. 100 to 484. இதிலிருந்து அந்த நான்கு எண்களை (153, 370, 371, 407) எப்படிக் கொண்டுவரப் போகிறார்? இதற்கும் மட்டு-க்கும் என்ன சம்பந்தம்…? ம்ம்.. ஆர்வமாக உள்ளேன்

  6. பத்ரி, மிக மிக அருமையாகச் செல்கின்றது உங்கள் கணித வலைப்பதிவு! அருள்கூர்ந்து தொடருங்கள். என்னைப் பொருத்தவரை இவை வரலாற்றுப் பதிவுகள். தன்விருப்பு எண்கள் அல்லது ஆம்சிட்ராங்கு எண்கள் என்பது பற்றி தமிழ் விக்கிப்பீடியாவிலும் ஒரு கட்டுரை இப்பொழுது உள்ளது. இது ஆங்கில விக்கிப்பீடியாவில் உள்ள கட்டுரையை மிகப்பெரும்பாலும் மொழிபெயர்த்து எழுதியது. பார்க்கவும்: http://tawp.in/r/2zrt உங்களுடைய இந்தக் கட்டுரையை வெளியிணைப்பாகக் குறித்துள்ளேன். இமயவல்லியின் படைப்பு வியப்பூட்டுகின்றது. உங்கள் பதிவில் உள்ள அதையும் குறிப்பிட்டுள்ளேன்.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s