முக்கோணவியல்

Uncategorized

வெகு நாள்களாக இந்தப் பக்கமே வரவில்லை. சும்மா அரசியல், பொருளாதாரம் என்று எதையாவது எழுதிவிட்டுப் போவது எளிது. இந்தக் கணிதப் பதிவுகளில் என்ன எழுதவேண்டும் என்று நினைத்தேனோ அதனைப் பற்றி ஒழுங்காகச் சிந்திக்கச் சிறிது நேரம்கூட ஒதுக்கவில்லை.

என் மகள் இப்போது பத்தாம் வகுப்பு (சி.பி.எஸ்.இ) படிக்கிறாள். இந்த ஆண்டுதான் முக்கோணவியலை அறிமுகம் செய்திருக்கிறார்கள். \sin\theta என்றால் என்ன என்று ஆரம்பித்து, ஒரே விநாடியில் அப்படியே ஒரு தாண்டு தாண்டி, பலவிதமான சமன்பாடுகளை நிரூபிக்கச் சொல்கிறார்கள். உதாரணத்துக்கு மூன்று கணக்குகளை இங்கே தருகிறேன்.

1. \sin^6\theta + \cos^6\theta = 1-3\sin^2\theta\cos^2\theta

2. (\sin\theta+\sec\theta)^2 + (\cos\theta + \csc \theta)^2 = (1+\sec\theta \csc \theta)^2

3. m = (\tan \theta + \sin \theta), n = (\tan \theta - \sin \theta) என்றால் m^2-n^2 = 4\sqrt{mn} என்று நிரூபி.

மிக எளிதாக ஆரம்பித்து படிப்படியாக ஏற்றம் பெறும் சுமார் 35 கணக்குகள் அடங்கிய வீட்டுப் பாடத்தை அனுப்பியிருந்தார்கள். வெகு நாள்கள் சும்மா இருந்த கணித மூளையைத் தட்டி எழுப்புவதற்காக, அவை அனைத்தையும் பொறுமையாகப் போட்டுப் பார்த்தேன். மோசமில்லை. அனைத்தையும் விரைவிலேயே போட்டுவிட்டேன். முக்கோணவியல் நன்றாகவே ஞாபகம் இருக்கிறது.

மேலே உள்ள கணக்குகளைப் போடுவது கடினமல்ல. ஆனால் முதன்முதலாகக் கணிதம் கற்றுக்கொள்ளும் ஒரு பள்ளி மாணவருக்கு, இந்தக் கணக்குகளைப் போட எவ்வாறு கற்றுக்கொடுப்பீர்கள்?

இப்போது முதல் கேள்விக்கான விடை இங்கே:

\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1-3\sin^2\theta\cos^2\theta

இங்கே, \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta மற்றும் \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி, கொடுத்துள்ள இடதுபக்கத்தை மாற்றவேண்டும்.

\sin^6\theta + \cos^6\theta = \sin^4\theta (1-\cos^2 \theta) + \cos^4\theta(1-\sin^2\theta)

= \sin^4\theta + \cos^4\theta - \sin^4\theta\cos^2\theta - \cos^4\theta\sin^2\theta

= \sin^4\theta + \cos^4\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta(\sin^2\theta+\cos^2\theta)

= \sin^4\theta + \cos^4\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta

= \sin^4\theta + \cos^4\theta + 2 \sin^2\theta\cos^2\theta - 3 \sin^2\theta\cos^2\theta

= (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 3 \sin^2\theta\cos^2\theta

= 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta

இப்படியாக இடதுபக்கம் உள்ளதைக் கொஞ்சம் கொஞ்சமாக மஸாஜ் செய்து வலதுபக்கம் உள்ள வடிவத்துக்கு மாற்றவேண்டும்.

என் மகள் கேட்கும் கேள்வி இதுதான். “நீ எழுதியதைப் பார்த்தால் புரிகிறது. ஆனால் இப்படித்தான் செய்யவேண்டும் என்று எப்படி ஆரம்பிப்பது?”

இந்தக் கேள்விக்கு என்ன பதில் சொல்வீர்கள்?

Advertisements

23 thoughts on “முக்கோணவியல்

  1. நிறைய இந்த மாதிரியான கணக்கு போட்டா பார்த்த உடனே தோனும்.பதில் போங்கு மாதிரி இருந்தாலும் எனக்கு அப்படித்தான் தோன்றுகிறது.

  2. I asked the same question when i did my 9th standard. I was awarded with a slap from my math master. My friends too had this doubt but never dared to ask it. they rather added sin or cos on the LHS or RHS whichever is benefecial to them the arrived at the answer. with few misses could atleast score 70 or 80. But never we had that knowledge of approach. Similarly, I even questioned why should we use x,y,z are variables and a,b,c as constants. why not we use something like m,n,o,p. I got slapped again. I myself understood it was just for our comfort. Mmm. Lots of doubts unsettled till now. …. what the hell is sin, cos, cosec….. tan??? do anybody have answer for this?

  3. இதே பத்தாம் வகுப்பு, சிபிஎஸ்ஈ, திரிகோணமிதி.. கடைசிக்கேள்விக்கு விடை கிடைக்குமா என்றுதான் ஓடோடி வந்தேன் 😦

  4. LHS = m^2 – n^2 = (m + n)(m – n) = 2*tan(th)*2sin(th) = 4*tan(th)*sin(th)

    RHS = 4*sqrt(m*n)
    = 4* sqrt (tan^2(th) – sin^2(th))
    = 4* sqrt ((sin^2(th) / cos^2(th)) – sin^2(th))
    = 4* sqrt ( sin^2(th) * ( (1/cos^2(th)) – 1 )
    = 4 * sqrt (sin^2(th) * ( (1 – cos^2(th))/cos^2(th) )
    = 4 * sqrt (sin^2(th) * (sin^2(th)/cos^2(th)) )
    = 4 * sin(th)* tan(th)
    = 4 * tan(th)*sin(th)

    LHS = RHS

  5. Nice one. Brought back memories of my +2 (state board). I could solve the other two with some help from Google.

    The trick lies in using the equations like sin^2 a + cos^2 a = 1, and sec^2 a – tan^2 a = 1. That too, when you see that one side of the equation is raised to the 6th power, and the other side only has power 2, this is the way to go. Also, it helps to simplify sec, cosec, tan, cot to the more basic sin and cos.

    The same applies to integral calculus too. There, if we come across something like 1 / sqrt (1+x^2), the solution is to invoke the conjugate function – multiply and divide by sqrt (1 – x^2). (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 is the funda here, and comes in a lot handy.

    These are what i remember. There should be more such standard ways / methods that are used to simplify a given problem.

  6. sin^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1, sine (theta)/cos (theta) = tan (theta) இந்த இரு முடிவுகள் மட்டுமே முக்கியம். மற்றபடி அந்த 25 கணக்குகளுக்கும் முக்கோணவியலுக்கும் துளி சம்பந்தம் கிடையாது! மேற்குறிப்பிட்ட இரு முடிவுகளை a^2 + b^2 =1, a/b =c என்று எழுதிக்கொண்டால், அந்த 25 கணக்குகளும் இதை வைத்தே செய்யக்கூடிய சாதாரண அல்ஜீப்ராவை a, b, c என்பதற்குப் பதில் sin (theta), cos (theta) என்பதை வைத்து எழுதியிருக்கிறார்கள் என்பதைக் காணலாம். இப்படித்தான் நம் பள்ளிகளில் எது முக்கியமோ அதைக் கோட்டை விடுகிறார்கள். இந்த 25 பஜனைப் பாடல்களுக்குப் பதிலாக முக்கோணவியல் நிஜ உலகில் எப்படிப் பயன்படுகிறது என்று சொல்லித்தரலாமே. உதாரணமாக ஏ.சி. மின்சாரத்தில் வோல்ட்டேஜ், கரண்ட் போன்றவை சைன் ஃபங்ஷன்களாக இருக்கும், அவற்றுக்கு இடையில் ஃபேஸ் ஆங்கிள் வித்தியாசத்தின் டேன் மதிப்பை பவர் ஃபேக்டர் என்கிறோம் அல்லவா, இந்த மாதிரி விஷயங்களை.

    1. இதற்கான பதிலை, அடுத்த பதிவில் எழுதியுள்ளேன். நீங்கள் நினைப்பதுபோல், எல்லாவற்றையும் பிராக்டிகலான விஷயங்களோடு தொடர்புபடுத்தித்தான் கற்றுக்கொள்ளவேண்டும் என்பதே இல்லை. Art for Art’s sake. Math for Math’s sake.

  7. இதே கேள்வியைத்தான் நான் பள்ளி செல்லும்போதும் கேட்டேன். விடை கிடைக்கவில்லை. என் வகுப்பில் சில மாணவர்களும், பல மாணவிகளும், “எப்படியும் நூலில் இருக்கும் இதே கேள்விகள்தான் தேர்விலும் வரப்போகின்றன, அணுவளவும் மாற்றமின்றி, ஆதலினால் மனப்பாடம் செய்வோம்” என்று நெட்டுரு போட்டு நன்மதிப்பெண் பெற்றனர். இன்று வரை எனக்கு திரிகோணமிதி என்றால் ஏறி மிதிக்கலாம் போல கோபம் வரும்.

    இதனை தீர்வு செய்வது என்பது, 10k மணிநேர (10 thousand hour principle) கொள்கையின்படி, எழுதி எழுதிப் பார்த்து, பல தோரணிகளை (patterns) மனத்தில் பதியவைத்து, அதில் ஏதாவது ஒன்றுக்கு ஒத்ததாக இருக்கும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதன் (pattern matching) மூலமாகவே முடியும் என்பது எனக்கு மிக மெதுவாகவே உரைத்தது. அதுவரை, “நமக்கு கணிதம் வரவில்லையோ ?!” என்று ஏகப்பட்ட கேள்விகள், ஆராய்ச்சிகள், தாழ்வுமனப்பான்மைகள் என்று தவித்தேன்.

    தமிழ் படித்தால் நடைமுறை வாழ்க்கைக்கு உதவாது, அதனால் படிக்க வேண்டாம் என்று சில அறிவாளிகள் கூறுகிறார்களே. அவர்களிடம் சென்று கேட்க வேண்டும், திரிகோணமிதியை நீங்கள் வாழ்வில் எப்படி பயன்படுத்துகிறீர்கள் என்று.

  8. We should be remembering all the basic formulas, though it sounds silly.(actually it’s not)

    Intuitively they want us to do template matching.
    For example, when we see 7*8, we don’t add 8 seven times but immediately say 56, because we memorized the multiplication tables.
    Similarly, for the first question, in the RHS when we see the combination of 3*sin^x*sin^y we should remember the template 3ab(a+b) in the a^3+b^3 formula.
    And everything else falls in place.

    We can keep arguing this method is bullshit. But this is the quick winning method and there is no shame.

    My math teacher in my 8th std used to give hundreds of problems for the same a^2-b^2=(a+b)*(a-b) formula. We used to curse for doing the same thing hundred times.
    But that’s the magic he created years ago.

    Work on basics.

  9. இவ்வகை வினாக்கள் மாணவர்களின் அறிவை சோதிக்கிறதோ ஆவலை போதிக்கிறதோ இல்லையோ, சில கணக்கு ஆசிரியரகளின் திறமையை சோதிக்கின்றன. திரிகோண விதிகளை அல்ஜீப்ரா விதிகளோடு இணைக்கும் திறமை இருக்கா என்று விளையாடும் யுக்திகள். சைன் காஸ் எல்லாம் வெரும் ratio என்பதை உள்வாங்காதோர், இரண்டையும் கலப்படம் செய்ய கற்றுக்கொண்டுள்ளனர்.

  10. I think your approach is great. I would tell kids the lhs of the eqn has powers of 6 and the rhs has powers of 2, and also lhs has no ‘1’. Split sin6 into sin2 and reduce them, you’ll arrive at the result.

  11. I used to be very good in Maths in school / college because of the keen interest I had in the subject. Remember solving complex triple order differentiation & integration problems during engineering.. Now, I am completely out of touch.. Spark is there but some re-kindling may be warranted.. may be, like you, I could start sitting with my daughter helping her out!

    1. If you have any specific questions for which you want quick answers, post the same here. I or someone else should be able to solve it for you:-)

  12. (sin6theta + cos6theta) expression is a part of (sin2theta + cos2theta)cube gets expanded. Expand and see the answer in just two lines!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s