முக்கோணவியல் – தொடர்ச்சி

Uncategorized

சென்ற பதிவில் கோபுவும் பிறரும், சைன், காஸ் போன்றவையெல்லாம் வெறும் விகிதங்களே (பின்னங்களே), எனவே முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் எல்லாமே வெறும் அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகள்தான் என்று சொல்லியிருந்தனர். இன்னொரு நண்பர், நான் கொடுத்திருந்த மூன்று சமன்பாடுகளையும் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதங்களினால் ஆன அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகளாகவே மாற்றி, அவற்றை நிறுவியிருந்தார்.

முக்கோணவியல் என்ற பெயரே தவறான, ஆனால் எளிமையான வரலாற்றுப் பெயர். சைன், காஸ் போன்றவை உண்மையில் ஆபரேட்டர்கள் (செயலிகள்). e^x, \log x ஆகியவை போலத்தான் \sin x, \cos x ஆகியவையும். செங்கோண முக்கோணம் இல்லாமல்தான் இந்தச் சார்புகளை வரையறை செய்யவேண்டும். \sin nx, \cos nx, n=0, 1, 2 ... \infty ஆகியவை Fourier Orthonormal basis functions ஆகும்.

நாம் உருவாக்கும் ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சமன்பாடும், இந்த ஆப்பரேட்டர் அல்ஜீப்ராவுக்குப் பொருந்தும் ஓர் அம்சம். அதனால்தான் இவற்றை முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதங்களாக மாற்றி, அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகளாக ஆக்கிச் சரிக்கட்டுவது தவறான வழிமுறை. முக்கோணவியலை அறிமுகப்படுத்தும்போதுதான் குறுங்கோணங்களின் சைன், காஸ் (ie., acute angles) என்று சொல்லிக்கொண்டிருப்போம். ஆனால் இந்தச் சமன்பாடுகள் எந்த மெய் எண் x-க்கும் பொருந்தக்கூடியவை.

இப்போது இன்னொரு கணக்கைப் பார்ப்போம்.

\dfrac{(2 \cos^2 \theta - 1)^2}{\cos^4 \theta - \sin^4 \theta} = 1 - 2 \sin^2 \theta என்று நிரூபி.

இங்கே ட்ரிக் என்னவென்றால், இடது பக்கம் உள்ள பின்னத்தின் மேல், கீழ் பாகங்களும் சரி, வலதுபக்கம் உள்ளதும் சரி, எல்லாம் ஒன்றுதான். அதாவது,

2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = cos^2 \theta - \sin^2 \theta = cos^4 \theta - \sin^4 \theta

இதைப் புரிந்துகொள்ளும் மாணவர்கள், தேவையில்லாமல் பெருக்கல், கூட்டலில் நேரத்தைச் செலவிட மாட்டார்கள்.

இந்த மாதிரியான formal manipulation ஏன் முக்கியத்துவம் பெறுகிறது?  இதனைப் பின்னர் பார்ப்போம்.

Advertisements

5 thoughts on “முக்கோணவியல் – தொடர்ச்சி

  1. These formal manipulations are very much useful when we go further in differentiation and integration problems.
    Students suffer in higher studies because of this inability in formal manipulation

    1. You are right. Many people think that these kinds of formal manipulation is a waste of time and there is no use. Over the next few posts, I will touch upon this, while also dealing with a few more problems.

    1. The equations are written as LaTeX commands and are converted into images on the fly by WordPress. I doubt if the feed readers can do a good job of the raw text. I may not be able to help at all here. I chose WordPress because without any effort I can write a LaTeX command and have it output the correctly formatted equation on the screen.

  2. My point is – why do kids need to remember the various trigonometric identities? Instead, if we approach everything from the point of view of algebra i.e. convert everything into their basic definition of ratios of sides of a right angled triangle – would it not simplify stuff? I don’t think introducing trig functions as ratios is incorrect or limited by any means (may be this is not the modern approach). I think they are all equivalent definitions . If you don’t want to think of it in terms of ratios of a rt. angled triangle, then you can very well switch to unit circle definition and then may be create these right angled triangle suitably (either in the first, second, third or fourth quadrants). Also, doing the modulo operation would then not limit the definition of trig functions to acute angles (and hence is applicable to any real number).
    Ref : https://www.khanacademy.org/math/trigonometry/unit-circle-trig-func/Trig-unit-circle/v/unit-circle-manipulative

    For various possible definitions to trig functions see :
    http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions

    I have been into research for the past several years. I also do a lot of mathematical stuff. But, I have not used most of these things in my academic career. I have seen american graduate students use wolfram alpha to do differentiation and integration. Sure, you can say that they are not very good in manipulating/deriving these stuff like us (Indians). But, I don’t see that as any kind of limitation in pursuing applied mathematical research. If you are talking about core mathematical research, once again all these things are highly irrelevant. It is high time we look into these things seriously at the school and college level. According to me, there is a real need to introduce undergraduate students to real analysis and point set topology (at least as an elective). If we don’t do this, the kind of math syllabus we have designed for school and college students is not really going to be of any use to anyone!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s