முக்கோணவியல் + புள்ளிவிவரவியல்

Uncategorized

(என் மகள் வகுப்பில்) முக்கோணவியலை ஓரளவுக்கு முடித்துவிட்டு (பிறகு மீண்டும் வருவார்களாம்), இப்போது புள்ளிவிவரவியலுக்குச் சென்றுள்ளார்கள். புள்ளிவிவரவியலில் பத்தாம் வகுப்புப் பாடத்திட்டத்தில் பெரிய அளவுக்குக் கணிதம் உள்ளது என்று நான் கருதவில்லை. Mean, Median, Mode, Standard Deviation ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்பது பற்றிய கேள்விகள்தாம் வரப்போகின்றன. அதனால் புள்ளிவிவரவியல் முடியும்வரையில் நான் வேறுசில விஷயங்களைப் பற்றி இங்கே எழுதப்போகிறேன். அதற்குமுன், என் மகளின் புத்தகத்தின் பார்த்த ஒரு கணக்கு என் கவனத்தைக் கவர்ந்தது.

\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta என்றால் \cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta என்று நிரூபி.

இந்தக் கணக்கைப் பல்வேறு வழிகளில் நிரூபிக்கலாம். நான் இரண்டு வழிகளைக் கீழே காட்டுகிறேன்.

முதலாவது: வழிமுறை, மேலே உள்ள கணக்கையே மாற்றி எழுதிக்கொள்வது. முதல் சமன்பாட்டை \cos \theta-வாலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டை \sin \theta-வாலும் வகுத்துக்கொள்ளுங்கள். இப்போது மேலே உள்ள கூற்றை இவ்வாறு எழுதலாம்.

1 + \tan \theta = \sqrt{2} என்றால் \cot \theta - 1 = \sqrt{2} என்று நிரூபி.

அல்லது,

\tan \theta = \sqrt{2} - 1 என்றால் \cot \theta = \sqrt{2} + 1 என்று நிரூபி.

இந்த வடிவில் இந்தக் கணக்கைப் போடுவது மிக மிக எளிது. ஏனெனில்,

\cot \theta = \dfrac{1}{\tan \theta} = \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}

இந்த இறுதி வடிவை மேலும் கீழும் \sqrt{2} + 1 என்பதால் பெருக்கி, நசுக்கினால், நீங்கள் எதிர்பார்க்கும் விடை கிடைத்துவிடும்.

\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = (\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}) (\dfrac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}) = \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1

ஆக, நிரூபணம் ஓவர். இந்த வழிக்கு வராமல், ஒரிஜினல் வடிவத்தை வைத்துக்கொண்டே விளையாடலாம். முதல் சமன்பாட்டை எடுத்துக்கொண்டு இரண்டு பக்கமும் வர்க்கம் (ஸ்கொயர்) செய்து, கொஞ்சம் டிங்கரிங், பட்டி பார்த்தால் வேண்டியது கிடைத்துவிடும்.

(\cos \theta + \sin \theta)^2 = 2 \cos^2\theta

\cos^2\theta + \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cos^2\theta

\sin^2\theta = \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta

2 \sin^2\theta = \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta = (\cos \theta - \sin \theta)^2

இப்போது இரண்டு பக்கமும் வர்க்கமூலம் எடுத்தால்,

\cos \theta - \sin \theta = \pm \sqrt{2} \sin\theta

இந்த \pm குறியீட்டைத் தூக்கிக் கடாசிவிட்டால் பதில் கிடைத்துவிட்டது.

இதில் சுவாரசியம் எங்கிருந்து வருகிறது? இதுபோன்ற கணக்குகளை எப்படி ஒருவர் உருவாக்குகிறார் என்பதுதான் சுவாரசியமே.

யோசித்துப் பார்த்ததில் மேலே உள்ள கணக்கு நான் முதலில் நிரூபித்திருந்த விதத்திலிருந்துதான் ஆரம்பித்திருக்கும் என்று எண்ணுகிறேன். அதாவது \tan \theta = \sqrt{2} - 1 என்றால்… என்பதிலிருந்துதான் ஆரம்பித்திருக்கும். \theta எந்த மதிப்புடையதாக இருந்தால், \tan \theta என்பது \sqrt{2} - 1 என்ற மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும் என்ற கேள்வியை அடுத்துக் கேளுங்கள். இதற்கான விடை = 22.5^\circ. அதெப்படி வந்தது? எந்தெந்தக் கோணங்களுக்கெல்லாம் டேபிள் பார்க்காமல் சைன், காஸ், டான் மதிப்புகளை எழுத முடியும்? இவற்றை அடுத்த பதிவில் பார்ப்போம்.

Advertisements

4 thoughts on “முக்கோணவியல் + புள்ளிவிவரவியல்

  1. sine of an angle = (opposite side / hypotenuse) in a right angled triangle என்ற ஆரம்பத்துடன் கோணம் அதிகமாக அதிகமாக opposite side அதிகமாகும் என்பதால் sine என்பது 90 பாகை வரை increasing function என்று வைத்துக்கொள்ளலாம். 0, 30, 45, 60 மற்றும் 90 பாகைகளின் sine-க்கு ஒரு குறுக்குவழி சொல்லிக்கொடுத்துள்ளனர் எங்கள் ஆசிரியர்கள். sine 0 = square root of ( 0/4), sine 30 = square root of (1/4), sine 45 = square root of (2/4), sine 60 = square root of(3/4) and sine 90 = square root of (4/4). cosine க்கு திருப்பிப் போட்டுக்கொள்ளவேண்டும். அதாவது cosine 0 = square root of (4/4), cosine 30 = square root of (3/4), cosine 45 = square root of (2/4), cosine 60 = square root of (1/4), cosine 90 = square root of (0/4)

  2. ஏதேனும் ஒரு வட்டம் வரைந்துக்கொண்டு ஒரு படுக்கை(horizontal) விட்டம் மற்றும் ஒரு நெடுக்கை(vertical) விட்டம் வரைந்து 4 கால்வட்டத்துண்டுகளாகக் கற்பனை செய்துகொள்வோம். வலது பக்கம் மேலே இருக்கும் கால்வட்டத்துண்டிற்கு A , இடது பக்கம் மேலே இருக்கும் கால்வட்டத்துண்டிற்கு S, இடது பக்கம் கீழே இருக்கும் கால்வட்டத்துண்டிற்கு T மற்றும் வலது பக்கம் கீழே இருக்கும் கால்வட்டத்துண்டிற்கு C என்றும் பெயர் வைத்துக்கொள்வோம். (A S T C யை உங்களுக்குத் தேவையான விதத்தில் நினைவில் வைத்துக்கொள்ளலாம். எங்கள் கல்லூரி ஆசிரியர் சொன்னது All Students Teachers College (ஒரு வார்த்தையை மட்டும் அவையடக்கத்துடன் மாற்றியிருக்கிறேன்) சில புத்தகங்களில் All Silver Tea Cups என்று பார்த்திருக்கிறேன். எதற்காக A S T C என்பதன் விளக்கம் – A – ALL sine, cosine, tan of angles from 0 to 90 degree are positive. S – only sine of angles after 90 up to 180 degree are positive; T – (both sine and cosine of angles after 180 up to 270 degree are negative so that) only tan of angles after 180 up to 270 degree are positive and C – only cosine of angles after 270 up to 360 degree are positive. 90 degreeயிலிருந்து 180 degree வரை opposite side குறைந்துகொண்டே வருவதால் sine 90 degree முதல் sine 180 degree வரை decreasing function என்று கூறலாம். ஆகவே sine 120 = square root of (3/4) ; sine 135 = square root of (2/4); sine 150 = square root of (1/4) and sine 180 = square root of (0/4) மற்றும் cosine 120 = – square root of (1/4); cosine 135 = – square root of (2/4); cosine 150 = – square root of (3/4) and cosine 180 = – square root of (4/4) இதேபோலவே sine 210, sine 225, sine 240, sin 270, cosine 210, cosine 225, cosine 240 மற்றும் cosine 270 எல்லாமே negative, sine 300, sine 315, sine 330 sine 360 வரை negative; cosine 300, cosine 315, cosine 330 cosine 360 வரை positive 🙂

  3. அருமை… டான் இன்வர்ஸ் ஆஃப் 1.414 – 1 = 22.5 டிகிரி… அதை அரைவ் செய்திருந்த விதம் சூப்பர்…

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s