முக்கோணவியல்

Uncategorized

வெகு நாள்களாக இந்தப் பக்கமே வரவில்லை. சும்மா அரசியல், பொருளாதாரம் என்று எதையாவது எழுதிவிட்டுப் போவது எளிது. இந்தக் கணிதப் பதிவுகளில் என்ன எழுதவேண்டும் என்று நினைத்தேனோ அதனைப் பற்றி ஒழுங்காகச் சிந்திக்கச் சிறிது நேரம்கூட ஒதுக்கவில்லை.

என் மகள் இப்போது பத்தாம் வகுப்பு (சி.பி.எஸ்.இ) படிக்கிறாள். இந்த ஆண்டுதான் முக்கோணவியலை அறிமுகம் செய்திருக்கிறார்கள். \sin\theta என்றால் என்ன என்று ஆரம்பித்து, ஒரே விநாடியில் அப்படியே ஒரு தாண்டு தாண்டி, பலவிதமான சமன்பாடுகளை நிரூபிக்கச் சொல்கிறார்கள். உதாரணத்துக்கு மூன்று கணக்குகளை இங்கே தருகிறேன்.

1. \sin^6\theta + \cos^6\theta = 1-3\sin^2\theta\cos^2\theta

2. (\sin\theta+\sec\theta)^2 + (\cos\theta + \csc \theta)^2 = (1+\sec\theta \csc \theta)^2

3. m = (\tan \theta + \sin \theta), n = (\tan \theta - \sin \theta) என்றால் m^2-n^2 = 4\sqrt{mn} என்று நிரூபி.

மிக எளிதாக ஆரம்பித்து படிப்படியாக ஏற்றம் பெறும் சுமார் 35 கணக்குகள் அடங்கிய வீட்டுப் பாடத்தை அனுப்பியிருந்தார்கள். வெகு நாள்கள் சும்மா இருந்த கணித மூளையைத் தட்டி எழுப்புவதற்காக, அவை அனைத்தையும் பொறுமையாகப் போட்டுப் பார்த்தேன். மோசமில்லை. அனைத்தையும் விரைவிலேயே போட்டுவிட்டேன். முக்கோணவியல் நன்றாகவே ஞாபகம் இருக்கிறது.

மேலே உள்ள கணக்குகளைப் போடுவது கடினமல்ல. ஆனால் முதன்முதலாகக் கணிதம் கற்றுக்கொள்ளும் ஒரு பள்ளி மாணவருக்கு, இந்தக் கணக்குகளைப் போட எவ்வாறு கற்றுக்கொடுப்பீர்கள்?

இப்போது முதல் கேள்விக்கான விடை இங்கே:

\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1-3\sin^2\theta\cos^2\theta

இங்கே, \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta மற்றும் \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி, கொடுத்துள்ள இடதுபக்கத்தை மாற்றவேண்டும்.

\sin^6\theta + \cos^6\theta = \sin^4\theta (1-\cos^2 \theta) + \cos^4\theta(1-\sin^2\theta)

= \sin^4\theta + \cos^4\theta - \sin^4\theta\cos^2\theta - \cos^4\theta\sin^2\theta

= \sin^4\theta + \cos^4\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta(\sin^2\theta+\cos^2\theta)

= \sin^4\theta + \cos^4\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta

= \sin^4\theta + \cos^4\theta + 2 \sin^2\theta\cos^2\theta - 3 \sin^2\theta\cos^2\theta

= (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 3 \sin^2\theta\cos^2\theta

= 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta

இப்படியாக இடதுபக்கம் உள்ளதைக் கொஞ்சம் கொஞ்சமாக மஸாஜ் செய்து வலதுபக்கம் உள்ள வடிவத்துக்கு மாற்றவேண்டும்.

என் மகள் கேட்கும் கேள்வி இதுதான். “நீ எழுதியதைப் பார்த்தால் புரிகிறது. ஆனால் இப்படித்தான் செய்யவேண்டும் என்று எப்படி ஆரம்பிப்பது?”

இந்தக் கேள்விக்கு என்ன பதில் சொல்வீர்கள்?

Advertisements

மூன்று இலக்க ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள்

Uncategorized

மூன்று இலக்க ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்களை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்று இமயவல்லி என்ற எட்டாம் வகுப்புப் பெண் ஜூனியர் மேத்தமேடிசியன் இதழில் எழுதிய முறையை இங்கே கொடுக்கிறேன்.

மூன்று இலக்க எண்ணை abc என்று வைத்துக்கொள்வோம். இங்கே 1 \leq a \leq 9; 0 \leq b, c \leq 9. கவனியுங்கள், இங்கே a என்பது 1 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஆனால் 9 அல்லது அதற்குக் குறைந்ததாக இருக்கவேண்டும். அதாவது 0 ஆக இருக்கமுடியாது. a = 0 என்றால், அது மூன்றிலக்க எண் கிடையாது. ஆனால் b, c இரண்டும் 0 ஆகவும் இருக்கலாம். 9 அல்லது அதைவிடக் குறைவாக இருக்கவேண்டும்.

இந்த எண் ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்ணாக இருக்கவேண்டும் என்றால்,

a^3 + b^3 + c^3 = 100 a + 10 b + c

b^3 + c^3 - (10 b + c) = 100 a - a^3 = a (100-a^2) = a(10-a)(10+a)

b, c இரண்டுமே 9-ஆக இருந்தால், 10 b + c-இன் அதிகபட்ச மதிப்பு 99. இரண்டுமே 0 என்று இருந்தால், குறைந்தபட்ச மதிப்பு 0. அதாவது,

0 \leq 10b + c < 100 அல்லது, b^3 + c^3 > a(10-a)(10+a)

b^3 + c^3 - 100 < a(10-a)(10+a)

இரண்டையும் இணைத்தால்,

a(10-a)(10+a) < b^3 + c^3 < a(10-a)(10+a) + 100

இப்போது a பல்வேறு மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்ளும்போது, b^3 + c^3 எந்த எல்லைக்குள் இருக்கும் என்பதற்கு நாம் ஓர் அட்டவணையை உருவாக்கலாம்.

a a(10-a)(10+a) b^3 + c^3
1 99 [99,199]
2 192 [192,292]
3 273 [273,373]
4 336 [336,436]
5 375 [375,475]
6 384 [384,484]
7 357 [357,457]
8 288 [288,388]
9 171 [171,271]

இது ஒரு பக்கம் இருக்க, நாம் அடுத்து மட்டுக் கணக்கு என்றால் என்ன அன்று பார்க்கவேண்டும். ஆங்கிலத்தில் மாடுலர் அரித்மெடிக் என்போம்.

123-ஐ 10-ஆல் வகுத்தால் மீதி என்ன? 3-தானே? மட்டுக் கணக்கில், இதனை 123 \equiv 3 \pmod{10} என்று எழுதுவோம்.

பத்துக்கு மட்டும்தான் இப்படி என்று இல்லை. 123-ஐ 2-ஆல் வகுத்தால் மீதி 1. இதனை 123 \equiv 1 \pmod{2} என்போம்.

இதைப் பற்றி மேற்கொண்டு கொஞ்சம் பார்த்தால்தான் நாம் இந்த ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் கணக்கைத் தொடரமுடியும். அதனை அடுத்த பதிவில் பார்ப்போம்.

ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள்

Uncategorized

இரண்டு தொடர்கள் பாதியில் நிற்கின்றன. பெர்னோலி எண்கள். ஐசோபெரிமெட்ரிக் பிராப்ளம் எனப்படும் குறிப்பிட்ட சுற்றளவைக் கொடுத்துவிட்டால் மிக அதிகப் பரப்பளவைத் தரும் வடிவத்தைக் கண்டுபிடிப்பது. விரைவில் தொடர்கிறேன்.

AMTI எனப்படும் இந்திய கணித ஆசிரியர்கள் சங்கம் சென்னையிலிருந்து இயங்கிவருகிறது. அது Junior Mathematician என்ற மாணவர் காலாண்டு இதழை நடத்திவருகிறது. சங்கம், இதழ் இரண்டுமே பி.கே.சீனிவாசனால் தொடங்கப்பட்டது. என் மகள் படிக்கும் பள்ளியில் உயர்நிலை அளவில் அனைத்து மாணவர்களுக்கும் இந்த இதழைக் கொடுத்துவிடுகிறார்கள். ஏழாவது படிக்கும் அவளால் இந்த இதழில் இருக்கும் எதையுமே புரிந்துகொள்ள முடிவதில்லை. தூக்கித் தூர வைத்துவிடுகிறாள்.

செப்டெம்பர் மாத இதழில் இமயவல்லி என்ற எட்டாம் வகுப்புக் குழந்தை ஒன்று எழுதிய கட்டுரை உள்ளது. ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்களைப் பற்றியது. இந்த எண்களுக்கு தன்விரும்பி எண்கள் (Narcissistic Numbers) என்றும் பெயர்.

பத்தடிமானத்தில் நாம் எழுதும் எண்களை எடுத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வோர் எண்ணின் தனித்தனி இலக்கங்களை எடுத்து, அந்த எண் எத்தனை இலக்க எண்ணோ அத்தனை படிகளாக ஒவ்வொரு இலக்கத்தையும் உயர்த்தி அவற்றைக் கூட்டினால் அதே எண் கிடைக்கும் என்றால் அந்த எண்தான் தன்விரும்பி எண் அல்லது ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண். புரியவில்லையா?

178 என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொள்வோம். இது மூன்றிலக்க எண். இதன் வெவ்வேறு இலக்கங்கள் 1, 7, 8 ஆகியவை. எனவே 1^3 + 7^3 + 8^3 என்பதைக் கணக்கிடுங்கள். விடை 856! எனவே இந்த எண் ஒத்துவராது. மாறாக 153 என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். 1^3 + 5^3 + 3^3 = 1 + 125 + 27 = 153. அட… ஆமாம். 153 என்ற எண் ஓர் ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்.

ஒற்றை இலக்க எண் அனைத்துமே ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்களே. ஏனெனில் 5^1 = 5; 8^1 = 8 \cdots

ஆனால், இரட்டை இலக்க எண்கள் எவையுமே ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள் கிடையாது.

ஜூனியர் மேத்தமேடிசியன் இதழில் இமயவல்லி, எப்படி மூன்றிலக்க எண்களில் எவையெல்லாம் ஆர்ம்ஸ்ட்ராங் எண்கள் என்று மாடுலர் அரித்மெடிக்கைப் பயன்படுத்திக் கண்டுபிடிக்கலாம் என்று எழுதியுள்ளார். அப்படிக் கிடைக்கும் எண்கள் 153, 370, 371, 407 ஆகியவை. அதேபோல எப்படி நான்கிலக்க எண்களிலும் தன்விரும்பி எண்களைக் கண்டுபிடிக்கலாம் என்று கோடிட்டுக் காட்டியுள்ளார். நான்கிலக்க எண்களில் மொத்தம் மூன்று தன்விரும்பி எண்களே உள்ளன: 1634, 8208, 9474.

முரட்டுத்தனமாக எக்சல் அல்லது சி புரோகிராம் எழுதி ஐந்திலக்க எண்களில் எவையெல்லாம் ஆர்ம்ஸ்டார்ங் எண்கள் என்று கண்டுபிடிக்க முடியும்: 54748, 92727, 93084 ஆகியவை.

தன்விரும்பி எண்கள் பற்றி இந்தப் பக்கத்தில் அருமையான பல தகவல்களை நீங்கள் பெற முடியும். அவற்றில் பல, மிக ஆச்சரியமான தகவல்கள்:

பத்தடிமான எண்களைப் பொருத்தமட்டில்,

  • 60 இலக்கத்துக்கு மேலான எண்கள் எவையுமே தன்விரும்பி எண்கள் அல்ல என்று நிரூபிக்க முடியும்.
  • மிகப்பெரிய தன்விரும்பி எண் 39 இலக்கங்கள் மட்டுமே கொண்டது. அது: 115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401
  • 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39 இலக்கங்கள் கொண்ட எண்களில் மட்டுமே தன்விரும்பி எண்கள் உள்ளன.

பத்தடிமானம் தவிர, அதே முறையில் பிற அடிமானங்களிலும் தன்விரும்பி எண்களைக் கண்டுபிடிக்க முடியும்.

மேலே நான் கொடுத்துள்ள சுட்டியில் அவை பற்றியும் நீங்கள் காணலாம்.

அடுத்த பதிவில் இமயவல்லி மூன்றிலக்கத் தன்விரும்பி எண்களை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்று கொடுத்துள்ள வழிமுறையை விவரிக்கிறேன்.

தன்விரும்பி எண்கள் பற்றிய விக்கிபீடியா பக்கம்.

வட்டத்திலிருந்து சதுரம், சதுரத்திலிருந்து முக்கோணம்

Uncategorized

நாம் போகவிரும்புவது வட்டத்தை நோக்கித்தான் என்றாலும் முதலில் சதுரத்தைப் பற்றித்தான் நேற்று பார்த்தோம். அதாவது குறிப்பிட்ட சுற்றளவைக் கொடுத்துவிட்டால், அதைக்கொண்டு பல்வேறு (எண்ணற்ற) செவ்வகங்களை உருவாக்கலாம்; ஆனால் எதன் பரப்பளவு அதிகமாக இருக்கும் என்ற கேள்வியை நேற்று கேட்டோம். அதற்கான பதில், அந்தச் சுற்றளவைக் கொண்டு உருவாக்கும் சதுரம் என்று வந்தது. அத்துடன், செவ்வகமாக எடுத்துக்கொள்ளாமல் நாற்கோணமாக (நாற்கரமாக) எடுத்துக்கொண்டிருந்தால் என்ன பதில் வந்திருக்கும் என்ற கேள்வியை எழுப்பியிருந்தேன். அடுத்து ஐங்கோணம், அறுகோணம் போன்றவற்றைவேறு பார்க்கவேண்டும். ஆனால் அதற்கெல்லாம் அடிப்படையாக முக்கோணத்தை நாம் பார்க்கவேண்டும்.

ஏனெனில் மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட பக்கங்கள் கொண்ட எந்த வடிவத்தையும் பல முக்கோணங்களாக நம்மால் மாற்றமுடியும். முக்கோணத்துக்கான விதிகளைக் கண்டறிந்துவிட்டால் பிற கணக்குகளை முக்கோணத்துக்கு மாற்றி விடை காணமுடியும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றளவை (P) எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். அதைக்கொண்டு ஏகப்பட்ட முக்கோணங்களை உருவாக்க முடியும். அதில் எந்த முக்கோணத்துக்குப் பரப்பளவு மிக அதிகமாக இருக்கும்?

இதை இரண்டு படிகளில் தீர்க்க முயற்சி செய்வோம். முக்கோணத்துக்கு மூன்று பக்கங்கள் உள்ளன. அதில் ஒரு பக்கத்தை, அதாவது அடிப்பக்கத்தை நிலையான ஓர் எண்ணாக (a) வைத்துக்கொள்வோம். மீதமுள்ள இரண்டு பக்கங்களையும் (b, c) நம் இஷ்டத்துக்கு மாற்றுவோம். ஆனால், a + b + c = P என்பது ஒரு கட்டுப்பாடு.

இங்கு a என்பதை நிலைகொள்ள வைத்திருப்பதால், b + c = P - a. இங்கு P - a என்பது ஒரு மாறிலி. வசதிக்காக, இதனை 2q என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

இப்போது x என்ற மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம். இதன்மூலம், b, c இரண்டையும் x என்பதன் வாயிலாகத் தருவோம்.

b = q + x என்று எடுத்துக்கொள்வோம். அப்படியானால், c = 2q - q - x = q - x.

முக்கோணத்தில் பரப்பளவைக் கணிக்க ஹீரோவின் சூத்திரம் (Hero’s Formula) என்ற ஒன்று உள்ளது. இதனைத் தருவிப்பது இங்கு நமது நோக்கம் அல்ல; ஆனால் எளிதாக இதனைச் செய்யமுடியும். அந்தச் சூத்திரத்தின்படி,

A = \sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}; s = \dfrac{P}{2}

பரப்பளவு (A) பெருமமாக (maxima) இருக்கவேண்டும் என்றால், பரப்பளவின் வர்க்கமும் (A^2) அப்படியே இருக்கவேண்டும்தானே? ஏன் வர்க்கத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம் என்றால், கால்குலஸ் டிஃபரென்ஷியல் எல்லாம் செய்யும்போது எளிதாக இருக்கும் என்பதால்.

B = A^2= s(s-a)(s-q-x)(s-q+x) = s(s-a)((s-q)^2 - x^2)

இப்போது பெருமம்-சிறுமம் கண்டுபிடிக்கும் முறையைப் பின்பற்றுவோம்.

\dfrac{d B}{d x} = s(s-a)(-2 x) = 0

அப்படியானால், x = 0

இந்த மதிப்பில், \dfrac{d^2 B}{d x^2} = -2s(s-a) < 0

எனவே நாம் கண்டுபிடித்தது பெருமம். x = 0 என்றால், b = c = q.

அதாவது நமக்குக் கிடைப்பது இருசமபக்க முக்கோணம் (Isosceles Triangle). ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவையும் அடிப்பக்கத்தையும் கொடுத்துவிட்டால், அதன் பரப்பளவை அதிகமாக இருக்கவேண்டுமானால் அது இருசமபக்க முக்கோணமாக மட்டுமே இருக்கமுடியும்.

இப்போது நம் கணக்கின் இரண்டாவது கட்டத்துக்குப் போவோம். எதற்காக அடிப்பக்கத்தை நிலைநிறுத்தவேண்டும்? அதையும் மாறும்படிச் செய்வோமே? ஆனால் அது எப்படி மாறினாலும், ஒவ்வொரு மாற்றத்தின்போதும் அதன்மீது கட்டமைக்கப்படும் இருசமபக்க முக்கோணமே அதிகப் பரப்பளவு கொண்டதாக இருக்கும்.

இப்போது அடிப்பக்கத்தை a = x என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்படியானால், அந்த இரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உயரம் (h) எவ்வளவு? அதன் சுற்றளவு ஏற்கெனவே எடுத்துக்கொண்டதுபோல P ஆகும்.

மற்ற இரு பக்கங்களும் b = c = \dfrac{P - x}{2}

இப்போது, h^2 = b^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{P^2 - 2Px + x^2 - x^2}{4} = \dfrac{P (P - 2x)}{4}

இங்கும் A^2 என்பதையே பெருமமாக்க முயற்சி செய்வோம்.

A = \dfrac{1}{2} ah

B = A^2 = \dfrac{1}{4} a^2 h^2 = \dfrac{P x^2 (P-2x)}{16} = \dfrac{P}{16} (P x^2 - 2 x^3)

\dfrac{d B}{d x} = \dfrac{P}{16} (2 P x - 6 x^2) = \dfrac{P}{8} x (P - 3x) = 0

\Rightarrow x = 0 அல்லது x = \dfrac{P}{3}

ஆனால், \dfrac{d^2 B}{d x^2} = \dfrac{P}{16} (2 P - 12 x)

இங்கே x = \dfrac{P}{3} என்றால்தான் \dfrac{d^2 B}{d x^2} < 0. எனவே அதுதான் பெருமம். x = 0 என்பது சிறுமம்.

x = \dfrac{P}{3} என்றால், a = b = c = \dfrac{P}{3}

அதாவது அந்த முக்கோணம், முழுமையான சமபக்க முக்கோணமாக (Equilateral Triangle) இருந்தால்தான், கொடுத்துள்ள சுற்றளவுக்கு அதன் பரப்பளவு மிக அதிகமாக இருக்கும்.

சூப்பர். இப்போது இந்த இரண்டு விடைகளையும் எடுத்துக்கொண்டு, (அதாவது, பரப்பளவு அதிகமாக இருக்கவேண்டும் என்றால், அடிப்பக்கம் கொடுத்துவிட்டால், இருசமபக்க முக்கோணமாக இருக்கவேண்டும்; அடிப்பக்கம் கொடுக்கப்படவில்லை என்றால் ஒட்டுமொத்தமாக சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கவேண்டும்) அடுத்து ஐங்கோணம், அறுகோணம்… ஆகியவற்றையெல்லாம் ஒரு பார்வை பார்க்கலாமா?

வாழ்க்கையே ஒரு வட்டம்

Uncategorized

வட்டம் என்பது ஒரு பிரத்யேகமான வடிவம் என்று சொல்லியிருந்தேன். அதிலிருந்துதான் \pi என்னும் எண் வருகிறது. வரிசையாக சில வடிவங்களை உருவாக்கிக்கொண்டே வரும்போது கிடைக்கும் எல்லையான வடிவம்தான் வட்டம். எப்படி என்று பார்ப்போம்.

உங்களிடம் ஒரு துண்டு நூலைக் கொடுக்கிறேன். அதை வைத்துக்கொண்டு ஒரு இரு பரிமாண, முற்றிலும் மூடிய ஒரு வடிவத்தை நீங்கள் உருவாக்கவேண்டும். அப்படி உருவாக்கிய வடிவத்தின் சுற்றளவு எப்போதும் மாறிலியாக இருக்கும். அதுதான் நாம் எடுத்துக்கொண்ட நூலின் நீளமான P.

உதாரணமாக நான்கு பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தை உருவாக்குவதாக வைத்துக்கொள்வோம். நான்கு பக்கங்கள் கொண்டவை பொதுவாக நாற்கரம் (Quadrilateral) என்று அழைக்கப்படும். செவ்வகம் என்பது நாற்கரத்தின் ஒரு பிரத்யேக வடிவம். இப்போதைக்கு செவ்வகம் என்றே வைத்துக்கொள்வோம். இந்தச் செவ்வகத்தின் நீளம் l என்றும் அகலம் b என்றும் வைத்துக்கொள்ளுங்கள். அப்படியானால் 2(l+b) = P.

நாம் கொஞ்சம் கால்குலஸ் வேலைகளை இப்போது செய்யப்போவதால் இருக்கும் இரண்டு மாறிகளான l, b என்பவற்றில் ஒன்றைக் கொன்றுவிடுவோம். மற்றொன்றை x என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

l = x; b = \frac{P}{2} - x;

இந்தச் செவ்வகத்தின் பரப்பளவை இப்படி எழுதலாம்.

A(x) = lb = x . (\frac{P}{2} - x) = \frac{P}{2} x - x^2

எந்தக் கட்டத்தில் பரப்பளவு மிக அதிகமாக இருக்கும்? கால்குலஸின்படி, இப்படி இருக்கவேண்டும்:

\frac{d A}{d x} = 0

அதுமட்டுமல்ல; மேலே உள்ள சமன்பாட்டின்படி கிடைக்கும் x = x_m, இப்படியாக இருக்கவேண்டும்:

\frac{d^2 A}{d x^2} |_(x=x_m) < 0

\frac{d A}{d x} = \frac{P}{2} - 2 x = 0

\Rightarrow x = \frac{P}{4}

\frac{d^2 A}{d x^2} = -2 < 0

எனவே l = x = \frac{P}{4} என்னும்போதுதான் மிக அதிகமான பரப்பளவு இருக்கும். ஆனால் பாருங்கள், நீளம் இதுவாக இருந்தால், அகலமும் அதே.

b = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{P}{4}

அதாவது அது ஒரு சதுரமாக இருக்கும்போதுதான் அதன் பரப்பளவு மிக அதிகமாக இருக்கும்.

ஆனால், கணக்கு எளிமையாக இருக்கவேண்டும் என்பதற்காக நான் செவ்வகத்திலிருந்து ஆரம்பித்தேன். செவ்வகமாக இல்லாமல் அது ஒரு நாற்கரமாக இருந்தால்? அப்போதும் சதுரம்தான் விடை என்று வந்திருக்குமா?

பல பல π

Uncategorized

பொதுவாக \pi தொடர்பான சூத்திரங்களைப் பார்க்கும்போது, ஏன் இப்படிக் கஷ்டப்படுகிறார்கள் என்றுகூடப் பலருக்குத் தோன்றும். இப்படியெல்லாம் ஃபார்முலாக்களை உருவாக்கி இவர்கள் என்ன சாதிக்கப்போகிறார்கள்? கால்குலேட்டரைத் தட்டினால் ஏதோ 3.14159… என்று நீண்டு போய்க்கொண்டிருக்கும் ஒரு எண் கிடைக்கப்போகிறது. என்னதான் இருந்தாலும் எந்தக் கணக்கிலும் நாம் இரண்டு அல்லது மூன்று பதின்மங்களைத் தாண்டி எடுத்துக்கொள்ளப்போவதில்லை. 3.14 அல்லது 3.142 என்று வைத்துக்கொள்ளப்போகிறோம். இல்லையா, பேசாமல் \frac{22}{7} என்பதையே வைத்துக்கொண்டால் போயிற்று…

நியாயம்தான். ஒரு பொறியாளருக்கு இதற்குமேல் வேறு ஏதும் வேண்டியதில்லை. அவர் செய்யும் குத்துமதிப்பான கணிப்புகளுக்கு இதுவே அதிகம்! ஆனால் கணிதம் என்பது வெறும் குத்துமதிப்பான கணிப்புகளைத் தாண்டிய ஒன்று. \pi-ன் மதிப்பை பல நூறு, பல ஆயிரம், பல லட்சம், பல கோடி பதின்மங்களுக்குத் துல்லியமாகக் கணிக்க சிலர் முயற்சி செய்த்தன் விளைவாகப் பல ஆராய்ச்சித் துறைகள் முன்னேறியுள்ளன.

[பதின்மம் என்பது பற்றி. பதின்ம வயது என்றால் டீனேஜ் என்ற ஆங்கிலச் சொல்லுக்கு இணையான தமிழ்ச்சொல். அதை ஒத்ததுதான் இதுவும். டெசிமல் என்றால் பத்தடிமானத்தில் ஓர் எண்ணைச் சொல்வது. 295 என்று ஓர் எண்ணை நாம் எழுதும்போது அதன் பொருள் 2 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 என்பதுதான். அதேபோல 3.14159 என்றால் 3 \cdot 10^0 + 1 \cdot 10^{-1} + 4 \cdot 10^{-2} + 1 \cdot 10^{-3} + 5 \cdot 10^{-4} + 9 \cdot 10^{-5} ஆகும். இங்கே புள்ளிக்குப் பிறகு வரும் 14159 என்பதையும் ஆங்கிலத்தில் டெசிமல்ஸ் என்கிறோம். அதை முன்னர் தமிழில் தசமம் என்று சொல்லிவந்தோம். அது சமஸ்கிருதச் சொல் என்பதால் இப்போது பதின்மம் என்று அழைக்கிறோம். மூன்று பதின்மத்துக்கு ஓர் எண்ணைச் சொல்லவும் என்றால் புள்ளிக்குப் பிறகு மூன்று எண்கள் மட்டும் இருக்குமாறு சொல்லவும் என்று பொருள். \pi என்பதை இரண்டு பதின்மத்துக்குச் சொல்லவேண்டும் என்றால் அது 3.14. மூன்று பதின்மத்துக்குச் சொல்லவேண்டும் என்றால் 3.142. நான்கு பதின்மத்துக்கு என்றால் 3.1416. இப்படியாக.]

நேற்று, ராமானுஜன் உருவாக்கியிருந்த ஒரு சூத்திரத்தைப் பார்த்தோம். இப்போது மேலும் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்.

பழமை நாகரிகத்தினர் \pi என்பதற்கு விகிதமுறு எண்களைக் கொண்டு நெருங்கிய, தோராயமான மதிப்புகளைக் கொடுத்திருந்தனர் அல்லவா? ராமானுஜன் விகிதமுறா எண்களைக் கொண்டு மூன்று அழகான மதிப்பீடுகளை அளித்தார்.

\pi \approx \dfrac{9}{5} + \sqrt{\dfrac{9}{5}}

மற்றொன்று, \pi \approx \dfrac{19 \sqrt{7}}{16}

மற்றொன்று, \pi \approx (9^2 + \dfrac{19^2}{22})^{\frac{1}{4}}

இதில் கடைசியாகக் கொடுத்தது பத்து பதின்மங்களுக்குத் துல்லியமாக வரக்கூடியது. இந்தச் சூத்திரங்களை ராமானுஜன் எப்படி உருவாக்கினார்? கடைசியாகக் கொடுத்தது உள்ளுணர்வினால் என்றே அவர் எழுதுகிறார். ஆனால் அதற்குமுன் இருக்கும் இரண்டும் வரைகணித முறைப்படி விளக்கக்கூடியவை. இவற்றை அடுத்த சில பதிவுகளில் பார்ப்போம்.

இப்போது மீண்டும் ராமானுஜனின் \pi சூத்திரங்களுக்கு வருவோம்.

\dfrac{2}{\pi} = 1 - 5 (\dfrac{1}{2})^3 + 9 (\dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4})^3 - 13 (\dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6})^3 + \cdots

\dfrac{4}{\pi} = 1 + (\dfrac{1}{2})^2 + (\dfrac{1}{2 \cdot 4})^2 + (\dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6})^2 + (\dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8})^2 + \cdots

\dfrac{1}{\pi} = \dfrac{1}{72} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{(4k)! (23 +260 k)}{(k!)^4 4^{4k} 18^{2k}}

\dfrac{1}{\pi} = \dfrac{1}{3528} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{(4k)! (1123 +214660 k)}{(k!)^4 4^{4k} 882^{2k}}

கடைசி இரண்டு சூத்திரங்களைப் பார்க்கும்போது, ராமானுஜன் கையில் வேறு ஏதோ சரக்கு ஒன்று இருந்திருக்கிறது என்பதை நீங்கள் ஊகிக்கலாம். ஒரே பால். கொஞ்சம் டீ டிகாக்‌ஷனைக் கலந்தால் டீ. காபி டிகாக்‌ஷனைக் கலந்தால் காபி. இரண்டும் பார்க்க கிட்டத்தட்ட ஒரே நிறம். (சுவை வேறு வேறு!) அதேபோல ஏதோ ஜெனரேட்டிங் ஃபங்க்‌ஷன் ஒன்றை வைத்துக்கொண்டு அதில் சில பல எண்களைப் போட்டு விளையாடி கிண்டிக் கிண்டி எடுத்தால் என்னென்னவோ சூத்திரங்கள் வருகின்றன. இந்தமாதிரி விளையாட்டில் ராமானுஜன் சமர்த்தர்.

\pi பற்றி மேலும் பலவற்றைத் தெரிந்துகொள்ள விக்கிபீடியா பக்கத்துக்குச் செல்லுங்கள்.

பழசு: π (பை)

Uncategorized

இயற்கையில் மிகச்சில வடிவங்களால் மட்டுமே வட்டம் அல்லது கோளத்துடன் போட்டிபோட முடியும்.

வட்டம் என்பது மிகக் கச்சிதமான ஒரு வடிவம். c என்ற புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். r நீளமுள்ள ஒரு கயிறை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். அந்தக் கயிற்றின் ஒரு முனையை c-யில் வைத்து, கயிற்றை இழுத்துப் பிடித்து மறுமுனையை c-ஐச் சுற்றிவருமாறு செய்யுங்கள். உங்களுக்குக் கிடைக்கும் வடிவம்தான் வட்டம். இதே ஐடியாவை முப்பரிமாணத்தில் செய்து பாருங்கள். உங்களுக்குக் கிடைப்பது கோளம். மையத்திலிருந்து வெளிப்புறத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளிக்குமான தூரம் r ஆக இருக்கும்.

நாம் வாழும் பூமி கிட்டத்தட்ட கோள வடிவமானது. வானில் இருக்கும் பல பொருள்களும் கிட்டத்தட்ட கோள வடிவமானவை. ஒரு துளி நீர் கீழே சொட்டும்போது கோள வடிவை எடுத்துக்கொள்கிறது. (ஈர்ப்பு விசை காரணமாக அந்தக் கோளம் சற்றே மாறுபடும்.)

வட்டத்துக்கு அப்படி என்ன பெருமை? ஒரு கதை சொல்வார்கள். ஓர் அரசன், தன் அவையில் இருந்த புத்திசாலி ஒருவனை மெச்சி, அவனுக்குப் பரிசு கொடுக்க விரும்பினானாம். ஒரு நீண்ட கயிற்றை அவனிடம் கொடுத்து, இந்தக் கயிற்றால் எவ்வளவு இடத்தைச் சுற்றி வளைத்துக்கொள்ள முடியுமோ, அவ்வளவு இடத்தையும் நீயே வைத்துக்கொள்ளலாம் என்றானாம். குறிப்பிட்ட சுற்றளவால் சூழப்பட்ட இடம் மிக அதிகமானதாக இருக்கவேண்டுமானால், அது எந்த வடிவத்தில் இருக்கவேண்டும்? வட்டம் என்பதுதான் இதற்கான விடை. அதேபோல குறிப்பிட்ட பரப்பளவால் சூழப்பட்ட கொள்ளிடம் மிக அதிகமானதாக இருக்கவேண்டுமானால், அந்த வடிவம், கோளமாக இருக்கவேண்டும்.

இதையே மாற்றிச் சொல்வதானால், கொடுத்த கொள்ளளவுக்கு, மிகக் குறைந்த பரப்பளவை எடுத்துக்கொள்ளக்கூடிய வடிவம் என்ன என்ற கேள்வியை எழுப்பலாம். விடை – கோளம்.

இதுபோன்ற பெருமம் (maxima), சிறுமம் (minima) ஆகியவற்றை கால்குலஸ் எனப்படும் நுண்கணிதம் பற்றிப் பார்க்கும்போது எடுத்துக்கொள்வோம். இப்போதைக்கு வட்டத்துக்கு மீண்டும் வருவோம். ஒரு வட்டத்துக்கு r என்பது ஆரமாக (radius) இருந்தால், அந்த வட்டத்தின் சுற்றளவு என்ன? அல்லது, ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் அதன் ஆரத்துக்குமான விகிதம் என்ன? வசதிக்காக, ஆரம் என்பதைவிட விட்டம் (diameter = ஆரத்தைப் போல இருமடங்கு) என்பதை எடுத்துக்கொள்வோம். வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் அதன் விட்டத்துக்குமான விகிதம் என்ன?

இந்தக் கேள்விக்கான விடை சுமார் 3,000 ஆண்டுகளுக்கு முன்னதாகவே பல பழமையான சமூகங்களுக்குத் தெரிந்திருந்தது. பாபிலோனியர்கள், எகிப்தியர்கள், பழைய ஏற்பாட்டு இஸ்ரவேலர்கள், கிரேக்கர்கள், வேதகால இந்தியர்கள், சீனர்கள் என அனைவரும் இதற்கான விடையை அறிந்திருந்தனர். இன்று நாம் இந்த விகிதத்தை \pi என்று எழுதுகிறோம். ‘பை’ என்று அழைக்கிறோம்.

அனைவருக்கும் இது என்ன என்று தெரிந்திருந்தாலும், இதற்கான சரியான விடையைக் கண்டுபிடிக்கச் சிரமப்பட்டனர். அப்போதைய மக்களுக்கு விகிதமுறு பின்னங்கள் மட்டும்தான் தெரிந்திருந்தன என்பதை நினைவில் வைத்துக்கொள்ளுங்கள். எனவே \pi-ஐ இரண்டு எண்களின் விகிதமாகச் சொல்லவேண்டும்.

\pi-க்கு மிக நெருங்கிய முழு எண் 3. \pi-யின் மதிப்பாக, பாபிலோனியர்கள், \frac{25}{8} என்பதையும், எகிப்தியர்கள், \frac{256}{81} என்பதையும், வேதகால இந்தியர்கள், \frac{339}{108} என்பதையும் பயன்படுத்தினர்.

இன்று பள்ளிப்புத்தகங்களில் நாம் பார்க்கும் \frac{22}{7} என்பதை கிரேக்கரான ஆர்க்கிமெடிஸ் கொடுத்தார். ஒரு குறிப்பிட்ட எடையுள்ள பொருள் ஒன்றை நீரில் அமிழ்த்தினால், அந்தப் பொருள், தன் எடையின் அளவுக்கு நீரை வெளியேற்றும் என்பதைக் கண்டுபிடித்த அடுத்த விநாடி பாத் டப்பிலிருந்து அம்மணமாகக் கிளம்பி, யுரேகா என்று கத்திக்கொண்டு தெருவில் ஓடியதாக ஒரு கதை உண்டு!

ஆர்க்கிமெடிஸ் கொடுத்த \pi = \frac{22}{7} என்பதுதான் அந்த எண்ணின் உண்மையான மதிப்பு என்று வாழ்நாள் முழுவதும் நினைத்திருப்பவர்கள். பலகோடி. உண்மையில், \frac{22}{7} என்பது \pi-ஐவிடச் சற்றே பெரியது. சீனர்கள் \frac{355}{113} என்ற விகிதத்தைப் பயன்படுத்தினர். இது \pi-க்கு வெகு அருகில் இருக்கக்கூடியது.

ஆனால் இவை எல்லாமே தோராயமான மதிப்புகளே. ஏன் என்பதை நீங்கள் எளிதாக இந்நேரம் கண்டுபிடித்திருப்பீர்கள். ஏனெனில் \pi ஒரு விகிதமுறா எண். இதற்கான நிரூபணத்தை பின்னர் கட்டாயம் பார்ப்போம். அதற்குத் தேவையான அடிப்படைகளை நாம் இன்னமும் கற்கவில்லை.

\pi முதலில் வரைகணிதம் தொடர்பாகக் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. ஆனாலும் இன்று எந்தத் துறை சார்ந்த கணிதப் புத்தகத்தை எடுத்தாலும், \pi-ஐப் பார்க்காமல் இருக்கமுடியாது.

ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜனுக்கு \pi மீது தீராக் காதல் இருந்தது. தன்னுடைய நோட்டுப்புத்தகத்தில் \pi-ஐக் கணக்கிட பல முடிவில்லா தொடர்களை (Infinite series) அவர் எழுதிவைத்திருந்தார். மேலோட்டமாகப் பார்க்கும்போது, எங்கிருந்து இந்தத் தொடர்கள் வந்தன என்று யாருக்கும் புரியாது. உதாரணத்துக்கு இந்தச் சமன்பாட்டைப் பாருங்கள்:

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)! (1103 + 26390k)}{(k!)^4 (396)^{4k}}

இது ஒரு முடிவற்ற தொடர். அதாவது எல்லையில்லாத, முடிவே இல்லாத பல எண்களின் கூட்டுத்தொகை இது. மேலே உள்ள சமன்பாட்டில், ஃபேக்டோரியல் என்று சொல்லப்படும் k! என்ற ஒன்று உள்ளது. இங்கே k என்பது ஒரு நேர் முழு எண் (Positive integer).

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040

k! = k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1

மேலும், 0! = 1

அதேபோல, x^0 = 1, x எதுவாக இருந்தாலும்.

இவற்றை வைத்துக்கொண்டு, \pi-க்கான மேலே உள்ள முடிவற்ற தொடரின் ஒவ்வோர் எண்ணையும் கண்டுபிடிக்க ஆரம்பித்தால், முதல் எண் 1103 என்று வரும். இரண்டாம் எண் \frac{4! (1103 + 26390)}{396^4} = \frac{659832}{24591257856}. ஒரு ஜாலிக்காக மூன்றாம் எண்ணைக் கண்டுபிடித்தால் வருவது, \frac{2172562560}{604729962940281716736}. இதற்கும் அடுத்த எண்ணை கால்குலேட்டர் கொண்டு கண்டுபிடிக்க நினைத்தால், உங்களுக்கு என் ஆசீர்வாதங்கள்! இனி வரும் எண்கள் எல்லாமே சுழியத்துக்கு மிக அருகில் செல்வதால், அவற்றை வெட்டிவிடலாம். இப்போது \pi-ன் மதிப்பு என்ன என்று பார்க்கலாமா?

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2}}{9801}(1103 + \frac{659832}{24591257856} + \frac{2172562560}{604729962940281716736})

அடுத்த பதிவில், ராமானுஜன் \pi-ன் மதிப்பைக் கணக்கிடக் கண்டுபிடித்த சமன்பாடுகள் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்.

பழசு: இருபடிச் சமன்பாடுகள்

Uncategorized

பலபடிச் சமன்பாடுகளைப் பற்றிப் பேசத் தொடங்கினோம். x என்பது ஒரு மாறி (variable) என்றால், அதன் வர்க்கம், கனம், நான்காம் படி ஆகியவற்றை x^2, x^3, x^4 என்று எழுதலாம். இந்தப் படிகளை வெவ்வேறு எண்களால் பெருக்கி, இவற்றையெல்லாம் கூட்டினால் நமக்குக் கிடைப்பது அந்த மாறி x-ன் சார்பு (function). இந்தச் சார்புக்கு n வரிசை கொண்ட பலபடிச் சார்பு (polynomial function) என்று பெயர். இப்படிக் கிடைக்கும் பலபடிச் சார்பை சுழியத்துக்கு (Zero) சமப்படுத்தினால் கிடைப்பது n வரிசை உடைய பலபடிச் சமன்பாடு.

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n = 0

இந்தச் சமன்பாட்டில் n=1 என்றால் நமக்குக் கிடைப்பது மிக எளிதான ‘ஒருபடிச் சமன்பாடு’.

a_0 + a_1 x = 0

இந்தச் சமன்பாட்டுக்கு மிக எளிதான விடை உள்ளது.

x = - \frac{a_0}{a_1}, a_1 \neq 0

ஒருபடிச் சமன்பாட்டுக்கு அடுத்தது, இருபடிச் சமன்பாடு (quadratic equation).

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 = 0

பொதுவாக, கணிதப் புத்தகங்களில் இந்தச் சமன்பாட்டை இப்படி எழுதியிருப்பார்கள்:

a x^2 + b x + c = 0

இரண்டுமே ஒன்றுதான். இரண்டிலும் கெழுக்கள் (co-efficients) வெவ்வேறு குறியீடுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன. n வரிசை உள்ள ஒரு பலபடிச் சமன்பாட்டுக்கு n விடைகள் உள்ளன என்று நிரூபிக்கலாம். அதாவது, இருபடிச் சமன்பாட்டுக்கு இரண்டு விடைகள். அப்படியென்றால் என்ன அர்த்தம்? x என்னும் மாறி எந்த மதிப்பையும் எடுத்துக்கொள்ளலாம் என்று பார்த்தோம். x எந்த மதிப்பை எடுத்துக்கொண்டாலும் இடதுபக்கம் உள்ள பலபடிச் சார்பின் மதிப்பு சுழியம் (பூஜ்யம்) ஆகுமா? ஆகாது. x, குறிப்பிட்ட இரண்டு மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்ளும்போதுதான் இருபடிச் சார்பு, சுழியமாகும். x பிற மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்ளும்போது இருபடிச் சார்பின் மதிப்பு சுழியமாக இல்லாமல் வேறு மதிப்புகளைப் பெறும். மேலே குறிப்பிட்ட இருபடிச் சார்பு, x என்ற மாறி, p, q ஆகிய மதிப்புகளைப் பெறும்போது சுழியமாகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்படியென்றால்,

(x-p)(x-q) = 0

அல்லது, x^2 - (p+q) x + pq = 0

மேலே உள்ள சமன்பாட்டை முதலில் எழுதிய இருபடிச் சமன்பாட்டுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், நாம் இவ்வாறு சொல்லமுடியும்:

p+q = -\frac{b}{a}

pq = \frac{c}{a}

இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளையும் கொண்டு, p, q ஆகியவற்றை a, b c ஆகியவற்றின்வாயிலாகக் கொடுக்கமுடியும்.

(p+q)^2 = p^2 + q^2 + 2pq

(p-q)^2 = p^2 + q^2 - 2pq

(p-q)^2 = (p+q)^2 - 4pq = \frac{b^2}{a^2} - 4 \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 4 ac}{a^2}

இரண்டு பக்கத்துக்கும் வர்க்கமூலம் எடுத்தால் கிடைப்பது:

p-q = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}

இப்போது, p, q ஆகியவற்றை எளிதாகப் பெறலாம்:

p = \frac{(p+q)+(p-q)}{2} = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

q = \frac{(p+q)-(p-q)}{2} = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

பள்ளிக்கூடத்தில் கணிதம் படிக்கும்போது இவற்றைப் பார்த்த ஞாபகம் வருகிறதா? இந்தத் தீர்வை பல இடங்களில் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவோம்.

ஒரு பலபடிச் சமன்பாட்டின் விடைகள், அந்தச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனப்படும்.

இப்போது விகிதமுறா எண்களுக்கு (irrational numbers) மீண்டும் வருவோம். எல்லா விகிதமுறா எண்களையும் பலபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களாகப் பார்க்கமுடியும். இந்தச் சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் (co-efficients) விகிதமுறும் எண்களாக இருந்தாலும்கூட, மூலங்கள் விகிதமுறா எண்களாக வரும். உதாரணத்துக்கு \sqrt{2} என்பது x^2 - 2=0 என்னும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமாகும். மற்றொரு மூலம் - \sqrt{2}.

இப்போது மொத்தம் மூன்றுவிதமான எண்கள் இருப்பதாக நீங்கள் நினைக்கலாம். ஒன்று முழு எண்கள். இரண்டு விகிதமுறு எண்கள் (பின்னங்கள்). மூன்றாவதாக, பலபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களான விகிதமுறா எண்கள்.

ஆனால் உண்மை அதுவன்று! இந்த எண்களுக்குள் சிக்காத பல எண்கள் உள்ளன. அப்படிப்பட்ட எண்களில் இரண்டு மிகவும் சுவாரசியமான எண்களை நாளை பார்ப்போம்!

பழசு: விகிதமுறா எண்கள்

Uncategorized

நேற்று, \sqrt{2} என்ற எண்ணைப் பற்றிப் பார்த்தோம். அதை இரண்டு முழு எண்களின் பின்னமாகக் கொடுக்கமுடியுமா என்ற கேள்வியை எழுப்பினோம்.

1, 3, 5, 7 போன்ற எண்களை ஒற்றைப்படை எண்கள் என்கிறோம். 2, 4, 6, 8 போன்ற இரண்டால் முற்றிலுமாக வகுபடக்கூடிய எண்களை இரட்டைப்படை எண்கள் என்கிறோம். ஒற்றைப்படை எண்களை இரண்டால் முற்றிலுமாக வகுக்கமுடியாது. மீதி வரும். இரண்டு இரட்டைப்படை எண்களைக் கூட்டினால் வருவது இரட்டைப்படை எண். அதேபோல இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களைக் கூட்டினால் கிடைப்பதும் இரட்டைப்படை எண்ணே. ஆனால் ஓர் ஒற்றைப்படை எண்ணையும் ஓர் இரட்டைப்படை எண்ணையும் கூட்டினால் கிடைப்பது ஒற்றைப்படை எண். சில எண்களை எடுத்துக் கூட்டிப் பார்த்து உறுதி செய்துகொள்ளுங்கள்.

அடுத்து இந்த ஒற்றை, இரட்டைப்படை எண்களை வைத்து பெருக்கிப் பாருங்கள். இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களைப் பெருக்கினால் கிடைக்கும் விடை ஒற்றைப்படை எண். இரண்டு இரட்டைப்படை எண்களைப் பெருக்கினால் கிடைப்பது இரட்டைப்படை எண். ஓர் இரட்டைப்படை எண்ணையும் ஓர் ஒற்றைப்படை எண்ணையும் பெருக்கினால் கிடைப்பது இரட்டைப்படை எண்.

இதை வைத்துப் பார்த்தால், ஓர் எண்ணின் வர்க்கம் இரட்டைப்படை எண்ணாக இருந்தால் அந்த எண்ணுமே இரட்டைப்படை எண்ணாகத்தான் இருக்கவேண்டும் என்பது புரியும்.

இப்போது நாம் எடுத்துக்கொண்ட அடிப்படைக் கேள்விக்கு மீண்டும் வருவோம்.

எந்த பின்னத்தை எடுத்துக்கொண்டாலும் அதற்கென சுருக்கப்பட்ட ஒரு வடிவம் உள்ளது. \frac{p}{q} என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். இங்கு p, q இரண்டுமே முழு எண்கள். இவை இரண்டையும் r என்ற இவ்விரண்டையும் விடச் சிறிய ஓர் எண்ணால் வகுக்க முடியும் என்றால், அந்த வகுத்தலைச் செய்துவிடவேண்டும்.

உதாரணத்துக்கு, \frac{4}{6} என்பதை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். 4, 6 ஆகிய இரண்டு எண்களையும் 2-ஆல் வகுக்கமுடியும். எனவே வகுத்துவிடுங்கள். நமக்குக் கிடைப்பது \frac{2}{3}. இனி, 2, 3 ஆகியவற்றை இவற்றைவிடச் சிறிய எண் எதனாலும் வகுக்க முடியாது. இதுதான் இந்த பின்னத்தின் மிகவும் சுருக்கப்பட்ட வடிவம். இதற்குமேல் இந்த பின்னத்தைச் சுருக்க முடியாது.

இப்போது, \sqrt{2} என்ற எண்ணை விகிதமுறு பின்னமாக எழுதமுடியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது,

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

இங்கே, p, q இரண்டும் முழு எண்கள். மேலே குறிப்பிட்டுள்ள பின்னம், மிகவும் சுருக்கப்பட்ட வடிவிலானது. இதற்குமேல் இந்த பின்னத்தைச் சுருக்கமுடியாது. இப்போது, இரண்டு பக்கங்களையும் வர்க்கம் செய்யுங்கள்.

2 = \frac{p^2}{q^2}

அல்லது, p^2 = 2 q^2

வலதுகைப்பக்கம் உள்ள எண் இரண்டால் பெருக்கப்பட்டது; அப்படியானால் இரட்டைப்படை எண். எனவே இடதுகைப் பக்கம் உள்ள எண்ணும் இரட்டைப்படை எண். அதாவது p^2 என்பது இரட்டைப்படை எண். ஆனால், நாம் ஏற்கெனவே பார்த்ததுபோல, ஓர் எண்ணின் வர்க்கம் இரட்டைப்படை எண்ணாக இருந்தால், அந்த எண்ணுமே இரட்டைப்படை எண்தான். அதாவது p என்பது இரட்டைப்படை எண். அப்படியானால் p = 2 r என்னும் வகையில் r என்ற ஒரு முழு எண் உள்ளது என்று பொருள். அல்லது,

p^2 = (2 r)^2 = 4 r^2

அல்லது, 2 q^2 = 4 r^2

அல்லது, q^2 = 2 r^2

ஏற்கெனவே பார்த்த அதே தர்க்கமுறையில், q என்பதும் இரட்டைப்படை எண்ணாக இருக்கவேண்டும். p-யும் இரட்டைப்படை எண், q-யும் இரட்டைப்படை எண் என்றால், \frac{p}{q} என்பது சுருக்கப்பட்ட பின்ன வடிவாக இருக்கமுடியாது! எனவே \sqrt{2} என்பதை விகிதமுறு பின்னமாக எழுத முடியாது என்ற முடிவுக்கே நாம் வரவேண்டும்.

இப்படிப்பட்ட எண்களை விகிதமுறா எண்கள் (Irrational numbers) என்று சொல்வோம். ஒரு முழு எண்ணுடைய வர்க்கமூலம், மற்றொரு முழு எண்ணாக இருக்கலாம், அல்லது ஒரு விகிதமுறா எண்ணாக இருக்கலாம். 2, 3 ஆகியவற்றின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண்கள். ஆனால் 4-ன் வர்க்கமூலம் 2. மீண்டும் 5, 6, 7, 8 ஆகியவற்றின் வர்க்கமூலம் விகிதமுறா எண்கள். 9-ன் வர்க்கமூலம் 3. (எந்த முழு எண்ணின் வர்க்கமூலமும் இப்படித்தான் இருக்கும் என்பதை எப்படி நிரூபிப்பது என்று யோசியுங்கள்.)

நாம் மேலே பார்த்த நிரூபணத்தை முதலில் எழுதிவைத்தவர் யூக்ளிட் என்பவர். சுமார் 2300 ஆண்டுகளுக்குமுன் கிரேக்கத்தில் வாழ்ந்தவர். அலெக்சாண்டிரியா பல்கலைக்கழகத்தின் பேராசிரியராக இருந்தவர். Elements என்ற புத்தகத்தை எழுதினார். இதில் அதுவரையில் தெரிந்திருந்த பல கணித உண்மைகளைத் தொகுத்து வைத்தார். யூக்ளிட் பற்றி நாம் நிறையத் தெரிந்துகொள்ளவேண்டும். இவரை மீண்டும் மீண்டும் பார்க்கப்போகிறோம்.

ஓர் எண்ணுக்கு வர்க்கத்தைப் போன்றே, வெவ்வேறு படிகள் உண்டு. வர்க்கம் என்பது இரண்டாம் படி. கனம் என்றால் மூன்றாம் படி. அதாவது ஓர் எண்ணை மூன்றுமுறை அதனாலேயே பெருக்கவேண்டும்.

2^3 = (2)(2)(2) = 8

3^3 = (3)(3)(3) = 27

வர்க்கமூலத்தைப் போன்றே கனமூலம் உண்டு. 8-ன் கனமூலம் 2. 27-ன் கனமூலம் 3. இரண்டாம்படி, மூன்றாம்படி போன்று எத்தனை படிகள் வேண்டுமானாலும் மேலே போய்க்கொண்டே இருக்கலாம். 2-ஐ ஐந்துமுறை பெருக்கினால் – அதாவது 2x2x2x2x2 = 32 – கிடைப்பது 2-இன் ஐந்தாம் படி, அதாவது 2^5. முழு எண்களின் வர்க்கமூலங்களைப் போன்றே கனமூலங்கள், நான்காம், ஐந்தாம் மூலங்கள் ஒன்று முழு எண்ணாக இருக்கும், அல்லது விகிதமுறா எண்களாக இருக்கும். இப்படி உருவாகும் விகிதமுறா எண்கள் அனைத்தையும் பலபடிச் சமன்பாடுகளின் விடைகளாகப் பார்க்கமுடியும்.

பலபடிச் சமன்பாடுகள் (Polynomial Equations) என்றால் என்ன என்று நாளை பார்ப்போம்.

பழசு: எண்கள் – அறிமுகம்

Uncategorized

[இதற்குமுன் வேறு ஓரிடத்தில் கணித வலைப்பதிவு ஒன்றை ஆரம்பித்தேன். கணிதக் குறியீடுகளை எழுத மிகவும் கடினமாக இருந்தது. அதனால் அந்த வலைப்பதிவை அழித்துவிட்டேன். அப்போது எழுதிய சில பதிவுகளை இங்கு மீள்பதிவு செய்யப்போகிறேன். அவை அனைத்தும் “பழசு” என்ற அடைமொழியுடன் இருக்கும். அவை அனைத்துமே எலிமெண்டரி வகையைச் சேர்ந்தவை.]

எண்களை நாம் தினமும் பயன்படுத்துகிறோம். காசு கொடுத்துக் காய்கறி வாங்க. மீதி கொடுக்க. மணி பார்க்க. இவ்வளவு பழக்கமானதால், எண்கள் சுலபமானவைதானே என்று தோன்றிவிடுகிறது. ஆனால் எண்கள் கவனமாகப் புரிந்துகொள்ளப்படவேண்டியவை.

எண்ணும் எண்கள், 1, 2, 3 ஆகியவை என்பது நமக்குத் தெரியும். நம் கண்ணுக்குத் தெரியும், முழுமையான பொருள்களின் எண்ணிக்கை அவை. கையில் இருக்கும் விரல்கள், செடியில் இருக்கும் பூக்கள், வயலில் மேயும் ஆடுகள். கணிதத்தில் இவற்றை முழு எண்கள் (Integers) என்கிறோம். பல ஆரம்பகாலச் சமூகங்களுக்கு இந்த முழு எண்கள் மட்டுமே தெரிந்திருந்தன.

அதன்பின் பின்னங்கள் இயல்பாகவே கண்டறியப்பட்டன. கையில் இருப்பது ஒரு மாம்பழம். அதைச் சகோதரனுடன் பகிர்ந்துகொள்ளவேண்டும். என்ன செய்வது? அந்த மாம்பழத்தை இரண்டாக வெட்டவேண்டும். ஒன்றை இரண்டாக்க வேண்டும். அப்படி வெட்டிய ஒரு பகுதி, இரண்டில் ஒரு பாகம். சுமார் 2500 ஆண்டுகளுக்கு முன் வாழ்ந்த கிரேக்கர்கள், எண்களை இரண்டு வகையாகப் பிரித்தனர். முழு எண்கள், பின்னங்கள். பின்னங்களைக் கீழ்க்கண்ட வகையில் எழுதுகிறோம்.

\frac{5}{6}, \frac{2}{3}, \frac{17681}{234567}

இவற்றுக்கு விகிதமுறு பின்னங்கள் (Rational Numbers, fractions) என்று பெயர்.

பித்தாகோரஸ் – இவரது பெயரால் ஒரு கணிதத் தேற்றம் வழங்கப்படுகிறது – சுமார் 2,500 ஆண்டுகளுக்கு முன் வாழ்ந்தவர். இவர் வர்க்க எண்கள் எனப்படும் எண்களைப் பற்றி ஆராய்ந்தார். ஓர் எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்கினால் கிடைப்பது வர்க்கம். 2-ஐ 2-ஆல் பெருக்கினால் கிடைப்பது 4. 2-ன் வர்க்கம் 4. அதேபோல, 9 = 3×3, 16=4×4… இவற்றைக் கீழ்க்கண்ட கணிதக் குறியீட்டு முறையில் குறிக்கிறோம்.

2^2 = (2) \cdot (2) = 4

\sqrt{4} = 2

இந்த வர்க்க எண்களான 4, 9, 16 ஆகியவற்றைப் பார்த்த பித்தாகோரஸ் இவற்றில் இரண்டு வர்க்க எண்களைக் கூட்டினால், மற்றொரு வர்க்க எண் வருவதைக் கண்டார். அப்படிப்பட்ட எண்களை அவர் முக்கோணம் ஒன்றுடன் இணைத்துப் பார்த்தார். இந்த மூன்று எண்களும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமாக இருப்பதைக் கண்டார். இதைத்தான் பித்தாகோரஸ் தேற்றம் என்கிறோம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் a, b மற்றும் c என்றால்,

a^2 + b^2 = c^2

பித்தாகோரஸும் அவரது சீடர்களும் மேற்கண்ட சமன்பாட்டின் விடைகளாகப் பல முழு எண்களைக் கண்டுபிடித்தனர்.

3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2

5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2

ஒருநாள் பித்தாகோரஸின் சீடன் ஒருவன் அதிர்ச்சியான ஒரு விஷயத்தைக் கண்டுபிடித்தான். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களின் நீளம் 1, 1 என்று இருந்தால், மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளம் ஒரு விகிதமுறு பின்னமாக இருக்காது என்பதே அது.

அதாவது, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்துக்கு a = b = 1 என்று வைத்துக்கொள்ளுங்கள். அப்படியென்றால்,

c^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2

அல்லது, c = \sqrt{2}

இங்கே \sqrt{2} என்பதை இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக – அதாவது விகிதமுறு பின்னமாக – எழுதமுடியுமா?

முடியாது என்று சொன்னதால் அந்தச் சீடன் அடித்தே கொல்லப்பட்டான் என்கிறார்கள். காரணம், பித்தாகோரஸ் அப்படிப்பட்ட “கெட்ட” எண்கள் இருக்கமுடியாது என்ற தீவிரமான நம்பிக்கையை வைத்திருந்தார். ஆனால் அந்த நம்பிக்கை பொய்யானது. ஏன் இந்த எண்ணை விகிதமாக, இரண்டு முழு எண்களின் பின்னமாகக் கொடுக்கமுடியாது என்பதை அடுத்து பார்ப்போம்.