நீள்வட்டத்தின் சுற்றளவு

Uncategorized

வட்டம், நீள்வட்டம் இரண்டின் பரப்பளவை அடிப்படை நுண்கணிதத்தின் வழியே கண்டுபிடிப்பது மிக எளிது.

circle

$r$ என்ற ஆரத்தை உடைய வட்டத்தின் சமன்பாடு இது:

$x^2 + y^2 = r^2$

இதையே, $\theta$ என்ற கோணத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு எழுதவதென்றால்,

$x = r \cos\theta; y = r \sin\theta$

முதல் வட்டக் கால்பகுதியை எடுத்துக்கொண்டால், அதன் பரப்பளவை இவ்வாறு எழுதலாம்:

$A = \int_{0}^{r} y dx = \int_{\pi/2}^{0} (r \sin\theta)(-r \sin\theta) d\theta = -r^2 \int_{\pi/2}^{0} \sin^2\theta d\theta$

முக்கோணவியலிலிருந்து கீழ்க்கண்ட சமன்பாடு நமக்குக் கிடைக்கிறது:

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2 \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$

இதிலிருந்து,

$\sin^2\theta = \frac{1}{2}(1- \cos 2\theta)$

இதனைக் கொண்டு பரப்பளவைக் கணக்கிடலாம்:

$A = -r^2 \int_{\pi/2}^{0} \sin^2\theta d\theta = \frac{-r^2}{2} \int_{\pi/2}^{0} (1 - \cos 2\theta) d \theta = \frac{\pi r^2}{4}$

மேலே கண்டுபிடிக்கப்பட்டது மொத்தப் பரப்பளவில் நான்கில் ஒரு பகுதி என்பதால் முழுப் பரப்பளவு $= \pi r^2$ என்றாகும்.

ellipse ஒரு நீள்வட்டத்துக்கும் இதே மாதிரி எளிதாகப் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்கலாம்.

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு இதுதான்:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

இங்கே $a$ என்பது அரை பேரச்சு; $b$ என்பது அரை சிற்றச்சு. இதே சமன்பாட்டை கோணத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு, $x = a \cos\theta; y = b \sin\theta$ என்று எழுதலாம். வட்டத்துக்குச் செய்ததுபோல, முதல் வட்டக் கால்பகுதியை எடுத்துக்கொண்டால்,

$A = \int_{0}^{r} y dx = -ab \int_{\pi/2}^{0} \sin^2\theta d\theta = \frac{\pi ab}{4}$

நீள்வட்டத்தின் மொத்தப் பரப்பு $\pi ab$ .

நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி, வட்டத்தின் சுற்றளவையும் கண்டுபிடிக்கலாம். முன்போலவே முதல் வட்டக் கால்பகுதியை எடுத்துக்கொள்வோம். இங்கே வளைகோட்டின் வழியாகச் செல்லும் ஒரு சிறு துண்டு $dl = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

$dx = -r \sin\theta d\theta; dy = r \cos\theta d\theta$

$dl = r \sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta} d\theta = r d\theta$

$L = \int_{0}^{\pi/2} r d\theta = \frac{\pi r}{2}$

வட்டத்தின் நான்கு கால்பகுதிகளையும் சேர்த்தால், முழுச் சுற்றளவு $2 \pi r$ . சரி, நீள்வட்டத்தின் சுற்றளவு என்ன? ஒரு கால்பகுதியை மட்டும் எடுத்துக்கொண்டால் கிடைப்பது:

$L = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta} d\theta$

இதற்கு மூடிய வடிவத்தில் ஒரு தீர்வு (closed form solution) கிடையாது!

சூரியனைச் சுற்றிச் செல்லும் கோள்களை ஆராய்ந்த யோஹானஸ் கெப்ளருக்கு (Kepler) நீள்வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கண்டுபிடிக்கவேண்டிய தேவை இருந்தது. 1609-ம் ஆண்டு, கெப்ளர் இதற்கான ஒரு தோராயமான தீர்வை முன்வைத்தார்:

$L \approx 2 \pi \sqrt{ab}$

$a, b$ ஆகியவற்றை அரை பேரச்சு, அரை சிற்றச்சாகக் கொண்டிருக்கும் ஒரு நீள்வட்டத்துக்கும் $\sqrt{ab}$ என்பதை ஆரமாகக் கொண்டிருக்கும் ஒரு வட்டத்துக்கும் ஒரே பரப்பளவு என்பதால் இரண்டின் சுற்றளவும் கிட்டத்தட்ட நெருக்கமானவையாக இருக்கும் என்பது அவருடைய வாதம். இதையே நீட்டித்து, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ என்பதால் $L \approx \pi (a+b)$ என்று மற்றொரு தோராயமான மதிப்பீட்டையும் முன்வைத்தார்.

1773-ல் ஆய்லர் (Euler), $L \approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$ என்ற தோராய மதிப்பீட்டை முன்வைத்தார்.

1792-ல் சிபோஸ் (Sipos) $L \approx 2 \pi \frac{(a+b)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}$ என்பதை முன்வைத்தார். இது கெப்ளர், ஆய்லர் இருவருடைய மதிப்பீடுகளையும்விட துல்லியம் அதிகமானது. 1883-ல் முயிர் (Muir), 1889-ல் பியானோ (Peano), இருபதாம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பத்தில் லிண்ட்னர் (Lindner) ஆகியோர் மேலும் மேம்படுத்தப்பட்ட தோராய மதிப்பீடுகளை முன்வைத்தனர்.

ராமானுஜன் 1914-ல் இரண்டு தோராய மதிப்பீடுகளை முன்வைத்தார். முதலாவது:

$L \approx \pi (a+b) (3 - \frac{\sqrt{(3a+b)(a+3b)}}{(a+b)})$

இரண்டாவது மதிப்பீட்டை அழகாக எழுத $\lambda$ என்பதை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

$\lambda = \frac{a-b}{a+b}$

$L \approx \pi (a+b) (1 + \frac{3 \lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}})$

ராமானுஜனின் இரண்டு சமன்பாடுகளுமே அவருடைய நோட்டுப் புத்தகத்தில் இருந்தன. பின்னர் 1914-ல் அவர் எழுதிய Modular equations and approximations to $\pi$ , Quart. J. Math. (Oxford), 45 (1914) 350-372 என்ற ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையில் இடம்பெற்றன. இரண்டையும் உள்ளுணர்வால் உருவாக்கியதாகவே ராமானுஜன் சொல்கிறார். ஆனால், L. Jacobsen and H. Waadeland இருவரும் இந்த இரண்டாவது சமன்பாடு எப்படி வந்திருக்க முடியும் என்பதை Glimt fra analytisk teori for kjedebroker, Del II, Nordisk Mat. Tidskr., 33 (1985) 168-175 என்ற கட்டுரையில் கொடுத்திருப்பதை Gert Almkvist and Bruce Berndt ஆகியோர் தங்களுடைய Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. – Sep., 1988), pp. 585-608 என்ற கட்டுரையில் சுட்டிக்காட்டுகின்றனர்.

இதில் இரண்டாவது சமன்பாடு, மிகத் துல்லியமான ஒன்று. ராமானுஜனுடைய சமன்பாட்டைக் கொண்டு புதன் கிரகத்தின் சுற்றுப்பாதையைக் கணக்கிடும்போது மிக நெருக்கமான, துல்லியமான விடை (பிழை $= 1.5 \times 10^{-13}$ மீட்டர்) கிடைக்கிறது என்றும் ஆல்ம்க்விஸ்ட், பெர்ண்ட் தெரிவிக்கின்றனர். நீள்வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கணக்கிடுதல் தொடர்பாக மேலும் சில விஷயங்கள் ராமானுஜனின் நோட்டுப் புத்தகத்தில் காணப்படுகின்றன.

ஒரு சாதாரண நீள்வட்டம். அதன் சுற்றளவைத் துல்லியமாகக் கணிக்க சமன்பாடு ஏதும் இல்லை என்பதேகூடப் பலருக்குத் தெரிந்திருக்காது. கெப்ளர் தொடங்கி ஆய்லர் வழியாக இதைத் தோராயமாகக் கணக்கிடும் பணியில் மிகத் துல்லியமான சமன்பாடு ராமானுஜன் கொண்டுவந்தது. ராமானுஜனின் வழியில் சென்று, ஜேகப்சனும் வேட்லாண்டும் (மேலே சுட்டப்பட்டுள்ள 1985 கட்டுரையில்) ராமானுஜனுடையதைவிட சற்றே அதிகத் துல்லியம் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டை வைத்துள்ளனர்.

$L \approx \pi (a+b) \{ \frac{256 -48 \lambda^2 - 21 \lambda^4}{256 - 112 \lambda^2 + 3 \lambda^4} \}$

இதைப் படிக்கும் யாரேனும் இதனைவிடத் துல்லியமான சமன்பாட்டை வரும் காலங்களில் முன்வைக்கலாம்.

***

ராமானுஜன் பற்றி ஹார்டி

Uncategorized

ராமானுஜன் பற்றி ஹார்டி எழுதியதிலிருந்து சில பகுதிகள் மட்டும் (என்னுடைய சுமாரான மொழியாக்கத்தில்). ஒரு கணிதராக ராமானுஜனை முதலில் சரியாக எடை போட்டவர் ஹார்டிதான். பிறகு ஓர் ஆசிரியராக அவருக்குப் பாடம் சொல்லித் தந்திருக்கிறார். அவருடன் இணைந்து பல ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளைப் பதிப்பித்திருக்கிறார். அந்தவிதத்தில் இந்த மதிப்பீடு மிகவும் முக்கியமானது.

***

(ராமானுஜன் ஹார்டியிடம் வந்துசேர்ந்தபோது எப்படி இருந்தார் என்பது குறித்த ஹார்டியின் மதிப்பீடு இது.)

நவீன கணிதத்தை ராமானுஜனுக்கு எப்படிச் சொல்லித்தருவது? அவருக்குத் தெரிந்த விஷயங்கள் எவ்வளவு பரந்து விரிந்திருந்தனவோ, அதே அளவுக்கு அவருக்குத் தெரியாத விஷயங்களும் இருந்தன. ஒருபக்கம் இந்த ஆசாமி மாடுலர் சமன்பாடுகளையும் காம்ப்லக்ஸ் பெருக்கல் தேற்றங்களையும் (எல்லிப்டிக் பங்க்‌ஷன்ஸ்) சர்வசாதாரணமாகக் கையாள்கிறார். தொடர் பின்னங்கள் மீதான அவருடைய ஆளுமை உலகின் எந்தக் கணிதருடையதையும்விட அதிகமானதாக இருக்கிறது. ஸீட்டா ஃபங்க்‌ஷனின் ஃபங்க்ஷனல் சமன்பாட்டையும் (Functional equation of (Riemann) Zeta Function) அனலிடிக் நம்பர் தியரி துறையின் முக்கியமான பல கோட்பாடுகளையும் தானாகவே தருவித்திருக்கிறார். இன்னொரு பக்கமோ, டபுலி பீரியாடிக் ஃபங்க்‌ஷன் அல்லது கஷியின் தேற்றம் குறித்து இவர் கேள்விப்பட்டிருக்கவே இல்லை. கலப்பெண்களின் சார்புகள் குறித்து இவர் சரியாக அறிந்திருக்கவில்லை. கணித நிரூபணம் என்பது குறித்த இவருடைய கருத்துகள் மோசமானவை. பழையதோ புதியதோ, சரியானதோ தவறானதோ இவருடைய நிரூபணங்கள் எல்லாமே கொஞ்சம் விவாதம், கொஞ்சம் உள்ளுணர்வு, கொஞ்சம் உய்த்தறிதல் ஆகியவற்றின் ஒரு கலவை. அவற்றைத் தெளிவாகப் பிறருக்கு விளக்கிச் சொல்ல அவர் மிகவும் தடுமாறினார்.

அப்படிப்பட்ட ஒருவருக்குக் கணிதத்தை முறையாக எப்படிச் சொல்லித்தருவது? கணிதத்தை ஆரம்பத்திலிருந்து கற்றுக்கொள் என்று எப்படி அவரிடம் சொல்வது? அப்படிச் செய்தால், ராமானுஜன் அதனால் எரிச்சல் அடைந்தால், அவருடைய தன்னம்பிக்கை குலைந்துவிடும், அவருடைய அகவெழுச்சி கலைந்துவிடும் என்று நான் அஞ்சினேன். ஆனால் அதே நேரம், சில விஷயங்களில் அவருடைய அறியாமையைப் போக்கியே ஆகவேண்டும் என்று விரும்பினேன். அவருடைய பல முடிவுகள் தவறானவையாக இருந்தன. குறிப்பாக, அவர் முக்கியமானது என்று கருதிய பகா எண்களின் பரவல் தொடர்பாக. ஸீட்டா ஃபங்க்‌ஷனின் அனைத்து ஜீரோக்களும் மெய்யெண்களே என்ற நினைப்புடன் அவர் வாழ்க்கையைத் தொடர்வதை என்னால் அனுமதிக்க முடியவில்லை. எனவே இவற்றைப் பற்றி அவருக்குப் பாடம் நடத்த ஆரம்பித்தேன். ஓரளவுக்கு அதில் வெற்றியும் பெற்றேன். ஆனால் அவருக்கு நான் சொல்லிக்கொடுத்ததைவிட அவரிடமிருந்து அதிகம் கற்றுக்கொண்டேன் என்றுதான் சொல்லவேண்டும். சில ஆண்டுகளுக்குள்ளாகவே தியரி ஆஃப் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ், அனலிடிக் தியரி ஆஃப் நம்பர்ஸ் ஆகியவை குறித்து அவர் ஓரளவுக்குக் கற்றுக்கொண்டுவிட்டார். நவீன முறைக் கணிஞர்களில் அவர் ஒருவர் கிடையாது. அப்படியாக அவர் ஆகிவிடாமல் இருப்பதே நல்லது. ஆனால் ஒரு தேற்றத்தை நிரூபித்துவிட்டோமா இல்லையா என்பதைப் புரிந்துகொள்ளும் அளவுக்கு அவர் தேறியிருந்தார். அதே நேரம் அவருடைய அசல் கண்டுபிடிப்புகள் எவ்விதத்திலும் குறைந்துபோனதாகத் தெரியவில்லை.

***

(ராமானுஜனுடன் தொடர்ந்து சில ஆண்டுகள் இணைந்து பணியாற்றியபின், அவருடைய வழிமுறைகள் குறித்த ஹார்டியின் மதிப்பீடு இது.)

ராமானுஜனிடம் ஏதேனும் பிரத்யேக ரகசியத் திறன் உள்ளதா, பிற கணிதர்களின் வழிமுறைகளிலிருந்து இவருடையது வேறுபட்டிருந்ததா, இவருடைய சிந்திக்கும் முறையில் இயல்புக்கு மாறாக ஏதேனும் இருந்ததா என்று என்னிடம் நிறையப் பேர் கேட்டிருக்கிறார்கள். இக்கேள்விகளுக்கான பதில்களைக் கறாராகவோ முழு நம்பிக்கையுடனோ என்னால் சொல்ல முடியவில்லை. ஆனால் அப்படியெல்லாம் அவரிடம் ஏதேனும் பிரத்யேகமாக இருந்ததாக நான் நம்பவில்லை. கணிதர்கள் அனைவருமே அடிப்படையில் ஒரேமாதிரியாகச் சிந்திக்கிறார்கள்; ராமானுஜனும் அதற்கு விதிவிலக்கல்ல என்பதுதான் என் கருத்து. ஆனால் ராமானுஜனின் நினைவாற்றல் அபாரமானதாக இருந்தது. எண்களின் பிரத்யேக குணங்களை நினைவுகூர்வதில் அவர் தனித்துவம் கொண்டவராக இருந்தார். ஒவ்வொரு இயல் எண்ணும் ராமானுஜனின் பிரத்யேக நண்பன் என்று லிட்டில்வுட் சொன்னதாக எனக்கு ஞாபகம்.

ஒருமுறை அவர் புட்னீயில் சுகவீனமாக இருந்தபோது சென்று பார்த்த ஞாபகம் இருக்கிறது. 1729 என்ற எண் கொண்ட டாக்சியில் சென்றிருந்தேன். அந்த எண் (7 * 13 * 19) சுவாரசியம் ஏதுமற்ற எண்ணாக இருக்கிறது; இது கெட்ட சகுனமாக இருந்துவிடக்கூடாது என்று நம்புகிறேன் என்றேன். “இல்லை, இல்லை, அது சுவாரசியமான எண்தான். இருவேறு முறைகளில் இரண்டு எண்களின் மும்மடிகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும் மிகச்சிறிய எண் இதுதான்” என்றார் அவர். அதேபோன்று இருவேறு முறைகளில் இரு எண்களின் நான்குமடிகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் எதுவென்று சொல்ல முடியுமா என்று கேட்டேன். சிறிது நேரம் யோசித்துவிட்டு, “உடனடியாக ஏதும் தோன்றவில்லை, ஆனால் அப்படிப்பட்ட எண் மிகப் பெரியதாக இருக்கும்” என்றார். அவருடைய நினைவாற்றலும் கணிக்கும் ஆற்றலும் அசாதாரணமானவையாக இருந்தன. ஆனால் இயல்புக்கு மாறானவையாக இல்லை. இரண்டு பெரிய எண்களைப் பெருக்கும்போது நாம் அனைவரும் செய்வதுபோலத்தான் அவரும் செய்தார். ஆனால் மிக விரைவாகவும் துல்லியமாகவும் செய்தார். அதே நேரம் இயல்பாகவே வேகமாகக் கணக்கு போடக்கூடிய, அத்துறையில் நன்கு பழகிய பிற கணிதர்களைப் போலத்தான் இவரும் இருந்தார். எங்களுடைய ஓர் ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையின் இறுதியில் பார்ட்டிஷன்களுக்கான ஒரு பட்டியலை இணைக்கவேண்டியிருந்தது. அவற்றை ராமானுஜனும் மேஜர் மக்மாஹோனும் தனித்தனியாகச் செய்திருந்தனர். இவ்விருவரில் பொதுவாக மேஜர் மக்மாஹோனே சற்றே வேகமாகவும் இருவரில் அதிகத் துல்லியம் கொண்டவராகவும் இருந்தார்.

ஆனால் அல்ஜீப்ராயிக் சமன்பாடுகள், முடிவற்ற தொடர்கள் போன்றவற்றில் அவர் வியக்கத்தக்கவராக இருந்தார். இத்துறையில் அவருக்கு இணையானவரை நான் பார்த்தது கிடையாது. இந்த விஷயத்தில் ஆய்லர் அல்லது ஜாகோபியுடன் மட்டுமே இவரை நான் ஒப்பிடுவேன். இன்றைய நவீன கணிதர்களைவிட அதிகமாக இவர் எண்களைக் கொண்டு கணக்கிட்டு, அவற்றின் அடிப்படையில் உய்த்தறிதல் முறையில் (Mathematical induction) வேலை செய்தார். எண்களின் பிரிபகுதிகளின் சர்வசம குணங்கள் (congruence properties of partitions of numbers) பற்றிய அவருடைய கண்டுபிடிப்புகள் அனைத்துமே இவ்வாறு அறியப்பட்டவை. அவருடைய நினைவுத்திறன், பொறுமை, கணிக்கும் திறன் ஆகியவற்றுடன் பொதுமைப்படுத்தும் திறன், வடிவம் குறித்த ஓர் உள்ளுணர்வு, தன் கருதுகோளைப் படுவேகமாக மாற்றிக்கொள்ளும் திறன் போன்ற அசாதாரண சக்திகள் ஒன்றுசேர்ந்து அவருடைய துறையில் போட்டியாளரே இல்லாத நிலைக்கு அவரைக் கொண்டுசென்றுள்ளது.

***

ராமானுஜன் படித்த புத்தகங்கள் எவை எவை?

Uncategorized

கணித மேதை ராமானுஜன் பிறந்த நாள் நேற்று. ராமானுஜன் தொடர்பாகச் சில பதிவுகளை இட எண்ணியுள்ளேன்.

ராமானுஜன் இந்தியாவில் இருந்த காலகட்டத்தில், அதாவது பிரிட்டனின் கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகத்துக்குச் செல்வதற்குமுன்பாக எம்மாதிரியான கணிதப் புத்தகங்களையெல்லாம் படித்திருந்தார், எம்மாதிரியான கணிதத் துறைகள் பற்றிய தேர்ச்சி அவரிடம் இருந்தது என்பது முக்கியமான ஒரு கேள்வி. இதைப் பற்றி ராமானுஜனின் கணிதப் பேராசிரியர் ஹார்டியிடம் கேட்டபோது அவர் இவ்வாறு சொன்னார்:

நான் ராமானுஜனை தினம் தினம் சந்தித்தேன். இம்மாதிரியான தகவல்களை அவரிடம் எளிதில் கேட்டிருந்திருக்க முடியும். ஆனால் இப்படியான எந்தக் கேள்வியையும் அவரிடம் நான் கேட்கவில்லை. கெய்லியின் அல்லது கிரீன்ஹில்லின் “எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ்” புத்தகத்தை அவர் பார்த்திருக்கிறாரா என்றுகூட நான் கேட்கவில்லை. இப்போது அதை நினைக்கையில் வருத்தமாக இருக்கிறது. ஆனால் இது இயல்பானதுதான். முதலாவதாக ராமானுஜன் இவ்வளவு இளம் வயதில் இறந்துபோவார் என்று நான் எதிர்பார்க்கவில்லை. அவருக்குத் தன்னுடைய வரலாற்றின்மீதோ உளவியல்மீதோ விருப்பம் இருக்கவில்லை. தன் வேலையில் மட்டும் ஈடுபாடு கொண்டிருந்த கணிஞர் அவர். நானும் ஒரு கணிஞன். ராமானுஜனைச் சந்திக்கும் எந்த ஒரு கணிஞருக்கும் வரலாற்று ஆராய்ச்சியில் ஈடுபடுவதைவிட வேறு சுவாரசியமான விஷயங்கள் பல இருந்தன. அவரிடம்போய் இந்தத் தேற்றத்தை இந்த இடத்தில் பார்த்தாயா அல்லது அந்த இடத்தில் பார்த்தாயா என்று கேட்பது மூடத்தனம். எனெனில் அவரே ஒவ்வொரு நாளும் பத்து புதுத் தேற்றங்களை உருவாக்கிக்கொண்டிருந்தார்.

இந்தியர்கள் பலரும் ராமானுஜன் கணிதத்தைத் தன் கனவிலே கண்டடைந்தவர் என்று நினைக்கிறார்கள். ராமானுஜனுமேகூட நாமகிரித் தாயார் கணிதச் சமன்பாடுகளைத் தன்னிடம் தனிமையில் சொல்வதாகவேறு சொல்லித் தொலைத்துவிட்டார். இதனால் முன்னோடிகளின் எந்தவிதமான புத்தகங்களையும் ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளையும் படிக்காது, வெறும் கற்பனையில் ராமானுஜனின் கணித ஆராய்ச்சிகள் நடந்தன என்பதுபோன்ற முடிவுகளை நோக்கி நாம் செல்லும் அபாயம் உள்ளது. உண்மையில் அவர் எப்படிப்பட்ட புத்தகங்களைப் படித்திருந்தார் என்பது குறித்து ப்ரூஸ் பெர்ண்ட், ராபர்ட் ரேங்கின் இருவரும் ஒரு கட்டுரையை ‘தி அமெரிக்கன் மேத்தமேடிகல் மன்த்லி’ என்ற சஞ்சிகையில் எழுதியிருக்கிறார்கள். (The Books Studied by Ramanujan in India, Bruce C. Berndt and Robert A. Rankin, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 7 (Aug. – Sep., 2000), pp. 595-601)

அதன்படி, ராமானுஜன் நிச்சயமாகக் கீழ்க்கண்ட புத்தகங்களைப் படித்திருக்கிறார்:

Plane Trigonometry, S.L. Loney
A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics, G.S. Carr
Differential Calculus, J. Edwards
An Elementary Treatise on the Integra Calculus, B. Williamson
Orders of Infinity, G.H. Hardy

கூடவே, அவர் கீழ்க்கண்ட புத்தகங்களை ஓரளவுக்காவது படித்திருக்கிறார் என்பதற்கான சில சான்றுகள் இருக்கின்றன.

The Applications of Elliptic Functions, A.G. Greenhill
An Elementary Treatise on Elliptic Functions, A. Cayley
The Theory of Numbers, G.B. Mathews

லோனியின் முக்கோணவியல் பற்றிய புத்தகம், மேல்நிலைப் பள்ளி அளவிலானது. அக்கால மாணவர்கள் பலரும் முக்கோணவியலைப் படித்திருப்பார்கள். இன்றும் மாணவர்கள் இதனைப் படிக்கிறார்கள். காருடைய சினாப்சிஸ் புத்தகம் கணிதச் சமன்பாடுகளைத் தொகுத்து, கூடவே சில விளக்கங்களுடன் அமைந்தது. இந்தப் புத்தகம் ராமானுஜனின் வாழ்க்கையில் பெரும் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியது. கணிதச் சமன்பாடுகளை எப்படித் தருவிப்பது என்று படிப்படியாக எழுதுவதைக் காட்டிலும் ஒன்றன்பின் ஒன்றாக முடிவுற்ற சமன்பாடுகளை அடுக்கிச் செல்லும் வழக்கத்தை ராமானுஜன் கடைப்பிடிப்பதற்கு இந்தப் புத்தகம் காரணமாக இருக்கக்கூடும். கூடவே இந்தப் புத்தகம், அன்று அறியப்பட்டிருந்த பல்வேறு கணிதத் துறைகள், கணித ஆராய்ச்சி இதழ்கள் ஆகியவற்றின் பட்டியலையும் கொடுத்திருந்தது. இந்தப் புத்தகத்தில் எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ், மாடுலர் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ் ஆகியவை குறித்தும் தகவல்கள் இருந்தன என்பது முக்கியம்.

அடுத்த இரண்டு புத்தகங்களும் நவீன கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான அனாலிசிஸ் என்ற துறையில் வரக்கூடிய கால்குலஸ் – நுண்கணிதம். இன்று மேல்நிலைப் பள்ளியிலும் கல்லூரியில் இளநிலையிலும் இவற்றை நாம் பயில்கிறோம்.

ஹார்டியின் புத்தகம் பள்ளிக்கூட அளவிலிருந்து உயர்கிறது. எம்மாதிரியான ஃபங்க்‌ஷன்ஸ் (சார்புகள்) எவ்வாறு முடிவிலியை நோக்கி வேகமாகச் செல்கின்றன என்பது குறித்த புத்தகம் இது. உதாரணமாக, $f(x) = x$ என்ற சார்பைவிட $f(x) = x^2$ என்பது முடிவிலியை நோக்கி வேகமாகச் செல்லும். $x^3$ அதைவிட வேகமாகச் செல்லும். $e^x$ இவை அனைத்தையும்விட வேகமாகச் செல்லும்.

மாநிலக் கல்லூரிக் கணிதப் பேராசிரியர் சி.என்.கணபதி ஐயரின் அறையில் இந்தப் புத்தகத்தை ராமானுஜன் பார்த்திருக்கிறார். அவரிடம் வாங்கிப் படித்திருக்கவேண்டும். கணபதி ஐயருக்கு ராமானுஜன் 1914-ல் எழுதிய கடிதத்தில் இவ்வாறு குறிப்பிடுகிறார்: “உங்களுடைய அறையில் நான் பார்த்த ‘ஆர்டர்ஸ் ஆஃப் இன்ஃபினிடி’ புத்தகம்தான் எனக்கு ஹார்டியையும் லிட்டில்வுடையும் அறிமுகப்படுத்தியது.” அப்படி அவர் கண்டறிந்த ஹார்டிக்குத்தான் தன் சமன்பாடுகளைக் கடிதமாக எழுதி அனுப்பினார். ஹார்டி தன் புத்தகத்தில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்குக்கீழ் எத்தனை பகா எண்கள் இருக்கின்றன என்பது குறித்து சரியானதொரு சமன்பாடு கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை என்று எழுதியிருந்தார். அதனைக் குறிப்பிட்டு ராமானுஜன், தான் அப்படியொரு சமன்பாட்டைக் கண்டுபிடித்துள்ளதாகச் சொல்லி, ஒரு சமன்பாட்டையும் கொடுத்திருந்தார். (ஆனால் அந்தச் சமன்பாடு பிழையானது.) தன் புத்தகத்தை எங்கோ இந்தியாவின் ஒரு மூலையில் உள்ள இந்தப் பையன் படித்திருக்கிறான் என்பதும் ஹார்டி ராமானுஜன்மீது பரிவுகொள்ள ஒரு காரணமாக இருந்திருக்கக்கூடும்.

கிரீன்ஹில், கெய்லி இருவரும் எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ் குறித்துப் புத்தகங்களை எழுதியிருந்தனர். கெய்லியின் புத்தகத்தை ராமானுஜன் படித்திருக்க வாய்ப்பு குறைவு என்றே பெர்ண்ட் கருதுகிறார். சென்னைப் பல்கலைக்கழக நூலகத்தில் 1914-ல் கிரீன்ஹில்லின் புத்தகம்தான் இருந்துள்ளது. கெய்லியின் புத்தகம் பின்னாட்களில்தான் (1970களில்) வாங்கப்பட்டுள்ளது. எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்கள் ராமானுஜனை மிக மிக வசீகரித்தன. அவருடைய மிகச் சுவாரசியமான பல கண்டுபிடிப்புகள் இத்துறை சார்ந்தவை. உதாரணமாக 1729 என்ற எண். நோய்வாய்ப்பட்டு மருத்துவமனையில் இருந்த ராமானுஜனைப் பார்க்க ஹார்டி வருகிறார். தான் வந்த டாக்சியின் என் 1729 என்றும் அது சுவாரசியமற்றதோர் எண் என்றும் ஹார்டி சொல்கிறார். அதற்கு பதிலாக ராமானுஜன், “இல்லை, இல்லை ஹார்டி! இருவேறு முறைகளில் இரண்டு எண்களின் மும்மடிகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் இந்த 1729-தான்” என்கிறார். [It is the smallest number expressible as a sum of two cubes in two different ways.]

பலரும் நினைப்பதுபோல ராமானுஜன் அந்த நேரத்தில் பட்டென்று இதனை யோசித்துச் சொல்லிவிடவில்லை. கணிதம் அப்படியான மந்திரவித்தையெல்லாம் அல்ல. ராமானுஜனின் ‘தொலைந்த நோட்டுப்புத்தக’த்தின் ஒரு பக்கத்தில் இதற்கான அடிப்படை காணப்படுகிறது. (The 1729 K3 Surface, Ken Ono and Sarah Trebat-Leder கட்டுரையிலிருந்து இந்தப் படத்தை எடுத்திருக்கிறேன்.)

taxicab_image

இந்தப் பக்கத்தைப் பார்த்தால் 1729 என்னும் எண் மந்திர வித்தையல்ல, மாறாக அங்கே கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் ஃபார்முலாதான் ஒரு மாயவித்தை என்று தோன்றும். Michael D. Hirschhorn இந்தச் சமன்பாட்டை நிரூபித்து எழுதியிருக்கும் கட்டுரையிலிருந்து (An Amazing Identity of Ramanujan, Michael D. Hirschhorn, Mathematics Magazine, Vol. 68, No. 3 (Jun., 1995), pp. 199-201) தெளிவான படமாக எடுத்துக் காண்பித்துள்ளேன்.

amazing_identity

$9^3+10^3 = 12^3 + 1^3 (=1729)$ மட்டுமல்ல, இன்னும் பல்லாயிரம் எண்களைக் கொடுக்கும் மாஸ்டர் கீ இந்தச் சமன்பாடுதான் என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம். இதற்கான அடிப்படைகளையெல்லாம் ராமானுஜனுக்குக் கொடுத்தது கிரீன்ஹில்லின் எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ் புத்தகமே.

கேம்ப்ரிட்ஜில் ராமானுஜனிடம் கெய்லியின் புத்தகம் இருந்ததைத் தான் பார்த்ததாக அவருடைய நண்பர் ஆனந்த ராவ் குறிப்பிடுகிறார்.

மாத்தியூஸின் ‘தியரி ஆஃப் நம்பர்ஸ்’ புத்தகம் சென்னையில் ராமானுஜனின் நண்பர் ஒருவர் வீட்டில் இருந்துள்ளது. இந்தப் புத்தகம் பற்றி ராமானுஜன் தன் இன்னொரு நண்பருக்கு எழுதும் கடிதத்தில் குறிப்பிடுகிறார். ஆனால் அதை ராமானுஜன் முழுமையாகப் படித்திருக்கவில்லை என்பது தெரிகிறது. ஏனெனில் ராமானுஜனுக்கு ரீமானுடைய (Riemann) பகா எண்கள் குறித்த ஆராய்ச்சி பற்றியும், ரீமான்-ஸீட்டா ஃபங்க்‌ஷன் பற்றியும், அவற்றின் கலப்பெண் ஜீரோக்கள் பற்றியும் தெரிந்திருக்கவில்லை. இவையெல்லாம் மாத்தியூஸின் புத்தகத்தின் பத்தாவது அத்தியாயத்தில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றன.

***

பெர்ண்ட், ரேங்கின் கட்டுரையிலிருந்து நாம் கீழ்க்கண்டவற்றைத் தெரிந்துகொள்ளலாம். அடிப்படைகள் ஒன்றுமே தெரியாமல் மோட்டுவளையைப் பார்த்துக்கொண்டு, கடவுள் வழிபாட்டில் மட்டும் ஈடுபட்டுக்கொண்டிருந்தால் நாமகிரித் தாயாரோ அல்லது நரசிம்மரோ அல்லது சிவனோ காதில் வந்து கணக்கு சொல்லிக் கொடுக்கமாட்டார்கள். நீங்கள் கணிதமேதையாகவெல்லாம் ஆக முடியாது. ராமானுஜனும் பிற கணித விற்பன்னர்களைப் போலவே அடிப்படைப் புத்தகங்களையெல்லாம் படித்துத்தான் கணித விற்பன்னராக ஆகியுள்ளார். அவருடைய நல்ல காலம், கும்பகோணம் கலைக்கல்லூரி நூலகம், சென்னைப் பல்கலைக்கழக நூலகம், பேராசிரியர்கள் அறிமுகம், அவர்களிடம் உள்ள புத்தகங்கள், சென்னைப் பல்கலைக்கழக நூலகத்தில் அக்காலத்தில் இருந்த கணித ஆராய்ச்சி இதழ்கள் ஆகியவை அவருக்குக் கிட்டின. அவரிடம் இயற்கையாக இருந்த அறிவைக் கொண்டு பிறருடைய துணை இன்றி அந்தப் புத்தகங்களையும் ஆராய்ச்சி இதழ்களையும் படித்துத் தேர்ச்சியுற அவரால் முடிந்தது. அத்துடன் விட்டுவிடாமல் எல்லிப்டிக் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ், மாடுலர் ஃபங்க்‌ஷன்ஸ் போன்றவற்றை வெகுவாக முன்னெடுத்துச் செல்ல அவரால் முடிந்தது. இவற்றின்மீது கட்டி எழுப்பப்பட்ட அவருடைய திறன், கணிதத்தின் புதிய புதிய துறைகளுக்குள் அவரைக் கூட்டிக்கொண்டு சென்றது.

இதை பாரம்பரிய, ஆசாரப் பார்ப்பனக் குடும்பத்தில் பிறந்த ராமானுஜன் கடவுள் அருள், நாமகிரித் தாயாரின் கருணை என்று பார்த்ததில் ஆச்சரியமே இல்லை. நாம் இன்றும் அவ்வாறு பார்ப்பதில்தான் பிரச்னையே.

நாகேஸ்வர ராவ் பூங்கா கணக்கு

Uncategorized

ராமுவும் சோமுவும் நண்பர்கள். இருவரும் நாகேஸ்வர ராவ் பூங்காவில் நடை பயிலச் செல்கிறார்கள். இருவரும் ஒரே நேரத்தில் ஒரே இடத்திலிருந்து நடக்க ஆரம்பிக்கிறார்கள். ஆனால் இருவரது நடை வேகமும் வேறு வேறு. ராமு, சோமுவைவிட வேகமாக நடக்கிறான். ராமு ஆறு முறை பூங்காவைச் சுற்றி முடிக்கும்போது சோமு ஐந்து முறைதான் சுற்றி முடிக்கிறான்.

இருவரது வேகமும் ஒரே சீராக இருக்கிறது என்று வைத்துக்கொண்டால், ராமு, சோமுவைவிட எவ்வளவு சதவிகிதம் அதிக வேகமாக நடந்தான்?

A bit more on ‘a power b’

Uncategorized

Just to take off from the previous post, when $a, b$ are complex numbers, a question was raised as to whether it makes sense to define $a^b$ .

It can be defined and the result is a well defined complex number. I had given the value for $i^i$ . A generalised result can be derived as follows. I will use $z_1, z_2$ instead of $a, b$ .

Let $z_1 = a + i b = r_1 e^{i \theta_1}$

and $z_2 = c + i d = r_2 e^{i \theta_2}$

Then, $z_1^{z_2} = {(a+ib)}^{(c+id)}$

$= {(r_1 e^{i \theta_1})}^{c+id}$

$= r_1^c r_1^{id} e^{i \theta_1 (c + id)}$

$= r_1^c e^{\ln r_1 id} e^{-d \theta_1 + i c \theta_1}$

$= (r_1^c e^{-d \theta_1}) e^{i(c \theta_1 +d \ln r_1)}$

You can get $i^i$ pop out of the above if you substitute appropriate values $(r_1 = 1, \theta_1 = \pi/2, c = 0, d = 1)$ .

What does ‘a power b’ mean?

Uncategorized

How do you define $a^b$ ?

My daughter has just finished her 10th and has taken up humanities group in +2. However, I wanted her to learn Maths at home and have started teaching her Trigonometry, Complex Numbers and Calculus. While introducing functions, I noticed that she has already seen all kinds of algebraic functions (composed of integral powers of x) and trigonometric functions. But $e^x$ and subsequently $\ln(x)$ were alien to her.

In this connection, I needed to touch upon $a^b$ .

It is easy to define the above when $b$ is a positive integer. $a$ could be any real number. We need not worry about whether it is an integer or a rational number etc. It could be any real number.

$a^2 = a . a$

$a^3 = a . a . a$

$a^b = a . a ... a$ (b times)

If $b$ is a negative integer, then there exists $m$ , a positive integer such that $-b = m$ . Then,

$a^{-2} = (\frac{1}{a})^2 = \frac{1}{a} . \frac{1}{a}$

$a^{-3} = (\frac{1}{a})^3 = \frac{1}{a} . \frac{1}{a} . \frac{1}{a}$

$a^b = (\frac{1}{a})^{m} = \frac{1}{a} . \frac{1}{a} ... \frac{1}{a}$ (m times)

This is fairly easy to explain.

What if $b$ is a rational fraction between 0 and 1? That is, $b = 1/m$ where $m$ is a positive integer.

$a^{(1/2)} = \sqrt{a}$

$a^{(1/3)} = \sqrt[3]{a}$

$a^b = a^{(1/m)} = \sqrt[m]{a}$

All that we need to know is, given any real number $a$ , it is possible for us to find another real number $c$ , whose $m$ th power is $a$ . That is, $c^m = a$ .

Extending this to $b$ being any rational number of the form $b = m/n$ , where $m, n$ are integers, we can well define

$a^b = a^{(m/n)} = (\sqrt[n]{a})^m$

Now let us take the next jump. What if $b$ is not rational? Then what does $a^b$ mean? How do you visualise it? What is the meaning of $a^{\pi}$ or $a^{\sqrt{2}}$ ? Note that you have to do this without resorting to logarithms because we have not talked about them yet.

One way of defining this is through limits. Given any irrational number, we can find a rational number close to that to any degree of accuracy. $a^b$ is well defined for $b$ being a rational number. By selecting rational numbers close enough to the given irrational number, you can calculate the value of $a^b$ . Thus you can extend this to all the real numbers and define $a^b$ where both $a, b$ are real.

Once you understand this, then you can understand a function like $e^x$ . Then you define $\ln(x)$ from this.

Actually, you can extend this to the complex numbers as well. I will only show this for a simple case, when $a=b=i$ . That is, what is the meaning of $i^i$ where $i$ has the usual meaning, that is, $i^2 = -1$ .

Suppose, $y = i^i$ .

Then, $\ln y = i \ln i$

Here, use $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ .

For $x = \pi/2$ , this would be, $e^{i \pi/2} = i$

Alternately, $i \frac{\pi}{2} = \ln i$

(Note that, $e^{i \pi/2}$ is one of the numbers that will result in $i$ . All of

$x = \frac{\pi}{2} + 2n \pi$

where $n$ is an integer will satisfy this. We will take the simplest solution.)

Substituting the above in the previous equation,

$\ln y = i \ln i = i . i \frac{\pi}{2}$

Or, $\ln y = - \frac{\pi}{2}$

Or, $y = i^i = e^{-\pi/2}$ (being one answer).

So it is possible to make sense of a complex number to the power of another complex number as well.

ஃபீல்ட்ஸ் மெடல் – மஞ்சுல் பார்கவா

Uncategorized

கணிதத்தில் சிறப்பான கண்டுபிடிப்புகளுக்காக நான்கு ஆண்டுகளுக்கு ஒருமுறை தரப்படும் ஃபீல்ட்ஸ் மெடலை இந்த ஆண்டு பெற்றுள்ள நான்கு பேரில் ஒருவர் இந்திய வம்சாவளியைச் சேர்ந்த மஞ்சுல் பார்கவா என்பவர். ஃபீல்ட்ஸ் மெடல் என்பது நோபல் பரிசுகளுக்கு இணையானது என்று கருதப்படுகிறது. பார்கவா, கனடாவில் பிறந்து, பெரும்பாலும் அமெரிக்காவில் வாழ்ந்து, படித்து இப்போது அங்கே பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதப் பேராசிரியராக இருந்துவருகிறார்.

அவருடைய கண்டுபிடிப்புகள் குறித்த சிறப்பான கட்டுரை (ஆங்கிலத்தில்) இதோ.

அவருடன் ஒரு நேர்முகக் கட்டுரை, தி ஹிந்து பத்திரிகையில்.

இந்தியப் பின்னணியிலிருந்து வந்து இந்த மெடலைப் பெறும் முதல் நபர் மஞ்சுல் பார்கவா ஆவார்.

இதேபோல், கணிதம் சார்ந்த கணினியல் துறையின் சிறந்த கண்டுபிடிப்புக்காக நான்கு ஆண்டுகளுக்கு ஒருமுறை தரப்படும் ரோல்ஃப் நெவான்லினா பரிசும் சுபாஷ் கோட் என்ற இந்தியருக்கே சென்றுள்ளது. இவரும் அமெரிக்காவில் பேராசிரியராக இருக்கிறார். இவரைப் பற்றிய கட்டுரை இங்கே.

அமெரிக்கர்கள் கணிதத்தில் மோசமாக இருப்பது ஏன்?

Uncategorized

நியூ யார்க் டைம்ஸில் வெளியாகியிருக்கும் மிக நீண்ட கட்டுரை. பொறுமையாகப் படியுங்கள். Why Do Americans Stink at Math?

முக்கோணவியல் + புள்ளிவிவரவியல்

Uncategorized

(என் மகள் வகுப்பில்) முக்கோணவியலை ஓரளவுக்கு முடித்துவிட்டு (பிறகு மீண்டும் வருவார்களாம்), இப்போது புள்ளிவிவரவியலுக்குச் சென்றுள்ளார்கள். புள்ளிவிவரவியலில் பத்தாம் வகுப்புப் பாடத்திட்டத்தில் பெரிய அளவுக்குக் கணிதம் உள்ளது என்று நான் கருதவில்லை. Mean, Median, Mode, Standard Deviation ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்பது பற்றிய கேள்விகள்தாம் வரப்போகின்றன. அதனால் புள்ளிவிவரவியல் முடியும்வரையில் நான் வேறுசில விஷயங்களைப் பற்றி இங்கே எழுதப்போகிறேன். அதற்குமுன், என் மகளின் புத்தகத்தின் பார்த்த ஒரு கணக்கு என் கவனத்தைக் கவர்ந்தது.

$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ என்றால் $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ என்று நிரூபி.

இந்தக் கணக்கைப் பல்வேறு வழிகளில் நிரூபிக்கலாம். நான் இரண்டு வழிகளைக் கீழே காட்டுகிறேன்.

முதலாவது: வழிமுறை, மேலே உள்ள கணக்கையே மாற்றி எழுதிக்கொள்வது. முதல் சமன்பாட்டை $\cos \theta$ -வாலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டை $\sin \theta$ -வாலும் வகுத்துக்கொள்ளுங்கள். இப்போது மேலே உள்ள கூற்றை இவ்வாறு எழுதலாம்.

$1 + \tan \theta = \sqrt{2}$ என்றால் $\cot \theta - 1 = \sqrt{2}$ என்று நிரூபி.

அல்லது,

$\tan \theta = \sqrt{2} - 1$ என்றால் $\cot \theta = \sqrt{2} + 1$ என்று நிரூபி.

இந்த வடிவில் இந்தக் கணக்கைப் போடுவது மிக மிக எளிது. ஏனெனில்,

$\cot \theta = \dfrac{1}{\tan \theta} = \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$

இந்த இறுதி வடிவை மேலும் கீழும் $\sqrt{2} + 1$ என்பதால் பெருக்கி, நசுக்கினால், நீங்கள் எதிர்பார்க்கும் விடை கிடைத்துவிடும்.

$\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = (\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}) (\dfrac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}) = \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$

ஆக, நிரூபணம் ஓவர். இந்த வழிக்கு வராமல், ஒரிஜினல் வடிவத்தை வைத்துக்கொண்டே விளையாடலாம். முதல் சமன்பாட்டை எடுத்துக்கொண்டு இரண்டு பக்கமும் வர்க்கம் (ஸ்கொயர்) செய்து, கொஞ்சம் டிங்கரிங், பட்டி பார்த்தால் வேண்டியது கிடைத்துவிடும்.

$(\cos \theta + \sin \theta)^2 = 2 \cos^2\theta$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cos^2\theta$

$\sin^2\theta = \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta$

$2 \sin^2\theta = \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta = (\cos \theta - \sin \theta)^2$

இப்போது இரண்டு பக்கமும் வர்க்கமூலம் எடுத்தால்,

$\cos \theta - \sin \theta = \pm \sqrt{2} \sin\theta$

இந்த $\pm$ குறியீட்டைத் தூக்கிக் கடாசிவிட்டால் பதில் கிடைத்துவிட்டது.

இதில் சுவாரசியம் எங்கிருந்து வருகிறது? இதுபோன்ற கணக்குகளை எப்படி ஒருவர் உருவாக்குகிறார் என்பதுதான் சுவாரசியமே.

யோசித்துப் பார்த்ததில் மேலே உள்ள கணக்கு நான் முதலில் நிரூபித்திருந்த விதத்திலிருந்துதான் ஆரம்பித்திருக்கும் என்று எண்ணுகிறேன். அதாவது $\tan \theta = \sqrt{2} - 1$ என்றால்… என்பதிலிருந்துதான் ஆரம்பித்திருக்கும். $\theta$ எந்த மதிப்புடையதாக இருந்தால், $\tan \theta$ என்பது $\sqrt{2} - 1$ என்ற மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும் என்ற கேள்வியை அடுத்துக் கேளுங்கள். இதற்கான விடை $= 22.5^\circ$ . அதெப்படி வந்தது? எந்தெந்தக் கோணங்களுக்கெல்லாம் டேபிள் பார்க்காமல் சைன், காஸ், டான் மதிப்புகளை எழுத முடியும்? இவற்றை அடுத்த பதிவில் பார்ப்போம்.

முக்கோணவியல் – தொடர்ச்சி

Uncategorized

சென்ற பதிவில் கோபுவும் பிறரும், சைன், காஸ் போன்றவையெல்லாம் வெறும் விகிதங்களே (பின்னங்களே), எனவே முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் எல்லாமே வெறும் அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகள்தான் என்று சொல்லியிருந்தனர். இன்னொரு நண்பர், நான் கொடுத்திருந்த மூன்று சமன்பாடுகளையும் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதங்களினால் ஆன அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகளாகவே மாற்றி, அவற்றை நிறுவியிருந்தார்.

முக்கோணவியல் என்ற பெயரே தவறான, ஆனால் எளிமையான வரலாற்றுப் பெயர். சைன், காஸ் போன்றவை உண்மையில் ஆபரேட்டர்கள் (செயலிகள்). $e^x, \log x$ ஆகியவை போலத்தான் $\sin x, \cos x$ ஆகியவையும். செங்கோண முக்கோணம் இல்லாமல்தான் இந்தச் சார்புகளை வரையறை செய்யவேண்டும். $\sin nx, \cos nx, n=0, 1, 2 ... \infty$ ஆகியவை Fourier Orthonormal basis functions ஆகும்.

நாம் உருவாக்கும் ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சமன்பாடும், இந்த ஆப்பரேட்டர் அல்ஜீப்ராவுக்குப் பொருந்தும் ஓர் அம்சம். அதனால்தான் இவற்றை முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதங்களாக மாற்றி, அல்ஜீப்ரா சமன்பாடுகளாக ஆக்கிச் சரிக்கட்டுவது தவறான வழிமுறை. முக்கோணவியலை அறிமுகப்படுத்தும்போதுதான் குறுங்கோணங்களின் சைன், காஸ் (ie., acute angles) என்று சொல்லிக்கொண்டிருப்போம். ஆனால் இந்தச் சமன்பாடுகள் எந்த மெய் எண் $x$ -க்கும் பொருந்தக்கூடியவை.

இப்போது இன்னொரு கணக்கைப் பார்ப்போம்.

$\dfrac{(2 \cos^2 \theta - 1)^2}{\cos^4 \theta - \sin^4 \theta} = 1 - 2 \sin^2 \theta$ என்று நிரூபி.

இங்கே ட்ரிக் என்னவென்றால், இடது பக்கம் உள்ள பின்னத்தின் மேல், கீழ் பாகங்களும் சரி, வலதுபக்கம் உள்ளதும் சரி, எல்லாம் ஒன்றுதான். அதாவது,

$2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = cos^2 \theta - \sin^2 \theta = cos^4 \theta - \sin^4 \theta$

இதைப் புரிந்துகொள்ளும் மாணவர்கள், தேவையில்லாமல் பெருக்கல், கூட்டலில் நேரத்தைச் செலவிட மாட்டார்கள்.

இந்த மாதிரியான formal manipulation ஏன் முக்கியத்துவம் பெறுகிறது? இதனைப் பின்னர் பார்ப்போம்.